座標平面において, 点 P \(( 0 , 1 )\) を中心とする半径 \(1\) の円を \(C\) とする. \(a\) を \(0 \lt a \lt 1\) を満たす実数とし, 直線 \(y = a( x+1 )\) と \(C\) との交点を Q , R とする.
(1) \(\triangle \text{PQR}\) の面積 \(S(a)\) を求めよ.
(2) \(a\) が \(0 \lt a \lt 1\) の範囲を動くとき, \(S(a)\) が最大となる \(a\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
直線 \(l : \ y = a( x+1 )\) とおく. 点 P から \(l\) に下ろした垂線の足を H とおく.
点と直線の距離の公式より
\[
\text{PH} = \dfrac{\left| a \cdot 0 -1 \cdot 1 +a \right|}{\sqrt{a^2 +1}} = \dfrac{1-a}{\sqrt{a^2 +1}} \quad ( \text{∵} \ 0 \lt a \lt 1 )
\]
△PQH が直角三角形であること, \(\text{QH} = \text{RH}\) に着目すれば
\[
\text{QR} = 2 \sqrt{1 -\left( \dfrac{1-a}{\sqrt{a^2 +1}} \right)^2} = \dfrac{2 \sqrt{2a}}{\sqrt{a^2 +1}}
\]
したがって
\[
S(a) = \dfrac{1}{2} \text{QR} \cdot \text{PH} = \underline{\dfrac{\sqrt{2a} ( 1-a )}{a^2 +1}}
\]
(2)
\[
f(a) = \dfrac{1}{2} \left\{ S(a) \right\}^2 = \dfrac{a( 1-a )^2}{( a^2 +1 )^2}
\]
とおくと, \(f(a)\) が最大のとき, \(S(a)\) も最大となる.
以下では, \(f(a)\) の最大となるときについて調べる.
\[\begin{align}
f'(a) & = \dfrac{\left\{ ( 1-a )^2 -2a( 1-a ) \right\}( a^2+1 )^2 -a( 1-a )^2 \cdot 4a( a^2+1 )}{( a^2+1)^4} \\
& = \dfrac{( 1 -4a +3a^2 )( a^2+1 ) -4a^2 ( 1 -2a +a^2 )}{( a^2+1)^3} \\
& = \dfrac{( 3a^4 -4a^3+4a^2 -4a +1 ) -( 4a^4 -8a^3 +4a^2 )}{( a^2+1)^3} \\
& = \dfrac{-a^4 +4a^3 -4a +1}{( a^2+1)^3} \\
& = \dfrac{-( a^2-1 )( a^2+1 ) +4a( a^2+1 )}{( a^2+1)^3} \\
& = \dfrac{( 1-a^2 )( a^2-4a+1 )}{( a^2+1)^3} \\
& = \dfrac{( 1-a^2 )\left\{ a -\left( 2+\sqrt{3} \right) \right\}\left\{ a -\left( 2-\sqrt{3} \right) \right\}}{( a^2+1)^3}
\end{align}\]
したがって \(0 \lt a \lt 1\) における \(f(a)\) の増減は下表のようになる.
\[
\begin{array}{c|ccccc} a & ( 0 ) & \cdots & 2-\sqrt{3} & \cdots & ( 1 ) \\ \hline f'(a) & & + & 0 & - & \\ \hline f(a) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \\ \end{array}
\]
したがって \(f(a)\) は \(a = 2-\sqrt{3}\) のとき最大となる.
ゆえに \(S(a)\) は \(a = \underline{2-\sqrt{3}}\) のとき最大となる.