点 O を中心とする半径 \(r\) の円周上に, \(2\) 点 A , B を \(\angle \text{AOB} \lt \dfrac{\pi}{2}\) となるようにとり \(\theta = \angle \text{AOB}\) とおく. この円周上に点 C を, 線分 OC が線分 AB と交わるようにとり, 線分 AB 上に点 D をとる. また, 点 P は線分 OA 上を, 点 Q は線分 OB 上を, それぞれ動く.
(1) \(\text{CP} +\text{PQ} +\text{QC}\) の最小値を \(r\) と \(\theta\) で表せ.
(2) \(a = \text{OD}\) とおく. \(\text{DP} +\text{PQ} +\text{QD}\) の最小値を \(a\) と \(\theta\) で表せ.
(3) さらに, 点 D が線分 AB 上を動くとき, \(\text{DP} +\text{PQ} +\text{QD}\) の最小値を \(r\) と \(\theta\) で表せ.
【 解 答 】
(1)
OA , OB について点 C と対称な点をそれぞれ C' , C'' とおくと \[ \text{CP} +\text{PQ} +\text{QC} =\text{C'P} +\text{PQ} +\text{QC''} \geqq \text{C'C''} \] 等号成立は, 点 P , Q が線分 C'C'' 上にあるとき. \(\angle \text{AOC} =\angle \text{AOC'}\) , \(\angle \text{BOC} =\angle \text{BOC''}\) なので \[ \angle \text{C'OC''} = 2 \angle \text{AOB} \] \(\text{OC'} = \text{OC''} = r\) より, 求める最小値は二等辺三角形の底辺で \[ \underline{2r \sin \theta} \]
(2)
OA , OB について点 D と対称な点をそれぞれ D' , D'' とおいて, (1) と同様に考えると, \(\text{OD'} = \text{OD''} = a\) より, 求める最小値は二等辺三角形の底辺で \[ \underline{2a \sin \theta} \]
(3)
\(a\) が最小になるときを考えればよい.
これは点 D が線分 AB の中点となるときで, このとき
\[
a = r \cos \dfrac{\theta}{2}
\]
よって, 求める最小値は
\[
\underline{2r \cos \dfrac{\theta}{2} \sin \theta}
\]