関数 \(f(x) = b +\dfrac{1}{b} -e^{ax} -e^{-ax}\) について, 以下の問いに答えよ. ただし, \(a \gt 0\) , \(b \gt 1\) とする.
(1) \(f(x) \geqq 0\) を満たす \(x\) の範囲を求めよ.
(2) 曲線 \(y = \sqrt{f(x)}\) と \(x\) 軸で囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 \(V\) を求めよ.
(3) \(a = b \log b\) のとき, (2) で求めた体積 \(V\) を \(V(b)\) で表す. このとき, \(\displaystyle\lim _ {b \rightarrow \infty} V(b) = 2 \pi\) となることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\[
f(-x) = b+\dfrac{1}{b} -e^{-ax} -e^{ax} = f(x)
\]
なので, \(x \geqq 0\) について考える.
\[\begin{align}
f'(x) & = -a e^{ax} +a e^{-ax} \\
& = -a e^{-ax} \left( e^{2ax} -1 \right) \\
& \leqq 0 \quad ( \ \text{∵} \ x \geqq 0 \ )
\end{align}\]
したがって, \(x \geqq 0\) において \(f(x)\) は単調減少する.
また, \(b \gt 1\) なので, 相加相乗平均の関係より
\[\begin{align}
f(0) & = b+\dfrac{1}{b} -2 \\
& \gt 2 \sqrt{b \cdot \dfrac{1}{b}} -2 = 0
\end{align}\]
したがって, \(f(x)=0\) は \(x \geqq 0\) に高々 \(1\) つの解をもつ.
ここで, \(e^ax = b\) より \(x = \dfrac{\log b}{a}\) であることから
\[
f \left( \dfrac{\log b}{a} \right) = b +\dfrac{1}{b} -b -\dfrac{1}{b} = 0
\]
なので, \(x = \dfrac{\log b}{a}\) は, \(f(x)=0\) の \(x \geqq 0\) における唯一の解である.
よって, \(f(x) \geqq 0\) をとくと
\[
\underline{-\dfrac{\log b}{a} \leqq x \leqq \dfrac{\log b}{a}}
\]
(2)
(1) の結果を用いれば \[\begin{align} V & = 2 \pi \displaystyle\int _ 0^{\frac{\log b}{a}} f(x) \, dx \\ & = 2 \pi \left[ \left( b +\dfrac{1}{b} \right) x -\dfrac{e^{ax}}{a} +\dfrac{e^{-ax}}{a} \right] _ 0^{\frac{\log b}{a}} \\ & = \dfrac{2 \pi}{a} \left\{ \left( b +\dfrac{1}{b} \right) \log b -b +\dfrac{1}{b} \right\} \\ & = \underline{\dfrac{2\pi \left\{ (b^2+1) \log b -b^2 +1 \right\}}{ab}} \end{align}\]
(3)
\(a = b\log b\) を代入すると \[\begin{align} V(b) & = 2 \pi \left( 1 +\dfrac{1}{b^2} -\dfrac{1}{\log b} +\dfrac{1}{b^2 \log b} \right) \\ & \rightarrow 2 \pi \quad ( \ b \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {b \rightarrow \infty} V(b) = 2 \pi \]