\(a , b\) は実数とする. 関数 \(f(x) = x^3+3ax^2+3bx\) が極大値と極小値をもつ. 次の問いに答えよ.
(1) 極大値が正で, 極小値が負で, かつ極大値と極小値の和が負となる点 \((a,b)\) の範囲を図示せよ.
(2) 極大値が \(1\) で, 極小値が \(-1\) であるような点 \((a,b)\) をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[
f'(x) = 3x^2+6ax+3b = 3 (x^2+2ax+b)
\]
\(f'(x) = 0\) が異なる \(2\) つの実数解をもつので, 判別式 \(D\) について
\[\begin{gather}
\dfrac{D}{4} = a^2 -b \gt 0 \\
\text{∴} \quad b \lt a^2 \quad ... [1]
\end{gather}\]
このとき, \(2\) つの解を \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とおくと
\[\begin{align}
\alpha = -a -\sqrt{a^2-b} & , \ \beta = -a+\sqrt{a^2-b} \\
\text{∴} \quad \alpha +\beta = -2a & , \ \alpha \beta = b \quad ... [2]
\end{align}\]
条件より
\[\begin{align}
f( \alpha ) f( \beta ) & \lt 0 \quad ... [3] , \\
f( \alpha ) +f( \beta ) & \lt 0 \quad ... [4]
\end{align}\]
が成り立つ条件を求めればよい.
ここで
\[
f(x) = \dfrac{x+a}{3} f'(x) -2(a^2-b)x-ab
\]
なので
\[\begin{align}
f( \alpha ) & = -2(a^2-b) \alpha -ab , \\
f( \beta ) & = -2(a^2-b) \beta -ab
\end{align}\]
これと [2] を用いれば, [3] より
\[\begin{align}
f( \alpha ) f( \beta ) = 4(a^2-b)^2 b -4a^2b(a^2-b) +a^2b^2 & \lt 0 \\
4a^4b -8a^2b^2 +4b^3 -4a^4b +4a^2b^2 +a^2b^2 & \lt 0 \\
b^2 ( 4b -3a^2 ) & \lt 0 \\
\text{∴} \quad b \lt \dfrac{3 a^2}{4} \quad ... [5] &
\end{align}\]
また, [4] より
\[\begin{gather}
f( \alpha ) +f( \beta ) = 4a(a^2-b) -2ab \lt 0 \\
a ( 2a^2-3b ) \lt 0 \\
\text{∴} \quad \left\{ \begin{array}{ll} b \lt \dfrac{2a^2}{3} & \ ( \ a<0 \text{のとき} ) \\ b \gt \dfrac{2a^2}{3} & \ ( \ a>0 \text{のとき} ) \end{array} \right. \quad ... [6]
\end{gather}\]
よって, 求める条件は, [1] かつ [5] かつ [6] なので, 点 \((a,b)\) の範囲は下図斜線部（ただし, ○と境界は除く）
(2)
条件と (1) の途中経過より \[\begin{align} f( \alpha ) +f( \beta ) & = 2a ( 2a^2-3b ) = 0 \quad ... [7] , \\ f( \alpha ) f( \beta ) & = b^2 ( 4b -3a^2 ) = -1\quad ... [8] \end{align}\] [7] をとくと \[ a=0 \ \text{または} \ a^2 = \dfrac{3b}{2} \]
1* \(a = 0\) のとき
[8] に代入して \[\begin{align} b^3 & = -\dfrac{1}{4} \\ \text{∴} \quad b & = -\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} \end{align}\]2* \(a^2 = \dfrac{3b}{2}\) のとき
[8] に代入すると \[\begin{gather} b^2 \left( 4b -3 \cdot \dfrac{3b}{2} \right) = -1 \\ b^3 = 2 \\ \text{∴} \quad b = \sqrt[3]{2} \end{gather}\] したがって \[ a = \pm \sqrt{\dfrac{3 \sqrt[3]{2}}{2}} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}} \]
よって, 求める値は \[ (a,b) = \underline{\left( 0 , -\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}} \right) , \ \left( \pm \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}} , \sqrt[3]{2} \right)} \]