平行四辺形 ABCD において, 辺 AB を \(1 : 1\) に内分する点を E, 辺 BC を \(2 : 1\) に内分する点を F, 辺 CD を \(3 : 1\) に内分する点を G とする. 線分 CE と線分 FG の交点を P とし, 線分 AP を延長した直線と辺 BC の交点を Q とするとき, 比 \(\text{AP} : \text{PQ}\) を求めよ.

【 解 答 】

\(\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{d}\) とおくと \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AC}} & = \overrightarrow{b} +\overrightarrow{d} , \quad \overrightarrow{\text{AE}} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{b} , \\ \overrightarrow{\text{AF}} & = \overrightarrow{b} +\dfrac{2}{3} \overrightarrow{d} , \quad \overrightarrow{\text{AG}} = \dfrac{1}{4} \overrightarrow{b} +\overrightarrow{d} \end{align}\] 点 P は, 線分 CE と線分 FG の交点なので, 実数 \(s , t \quad ( 0 \lt s \lt 1 , \ 0 \lt t \lt 1 )\) を用いて \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AP}} & = (1-s) \overrightarrow{\text{AC}} +s , \\ \overrightarrow{\text{AE}} & = \left( 1 -\dfrac{s}{2} \right) \overrightarrow{b} +(1-s) \overrightarrow{d} \quad ... [1] \end{align}\] または \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AP}} & = (1-t) \overrightarrow{\text{AF}} +t , \\ \overrightarrow{\text{AG}} & = \left( 1 -\dfrac{3t}{4} \right) \overrightarrow{b} +\left( \dfrac{2}{3} +\dfrac{t}{3} \right) \overrightarrow{d} \quad ... [2] \end{align}\] と表せる.
\(\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{d}\) は一次独立なので, [1] と [2] を比較して \[\begin{align} & \left\{\begin{array}{l} 1 -\dfrac{s}{2} = 1 -\dfrac{3t}{4} \\ 1-s = \dfrac{2}{3} +\dfrac{t}{3} \end{array}\right. \\ & \text{∴} \quad s = \dfrac{3}{11} , \quad t = \dfrac{2}{11} \end{align}\] したがって \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AP}} & = \left(1 -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{11} \right) \overrightarrow{b} +\left(1 -\dfrac{3}{11} \right) \overrightarrow{d} \\ & = \dfrac{19}{22} \overrightarrow{b} +\dfrac{8}{11} \overrightarrow{d} \end{align}\] これを用いれば, 点 Q は線分 BC 上にあり, かつ線分 AP の延長線上にあるので \[ \overrightarrow{\text{AQ}} = \dfrac{22}{19} \overrightarrow{\text{AP}} = \overrightarrow{b} +\dfrac{16}{19} \overrightarrow{d} \] よって \[ \text{AP} : \text{PQ} = \underline{19 : 3} \]