\(N\) を \(2\) 以上の自然数とし, \(a _ n\) （ \(n=1, 2, \cdots\) ）を次の性質 (i) , (ii) をみたす数列とする.
(i) \(a _ 1 = 2^N-3\) ,
(ii) \(n=1, 2, \cdots\) に対して,
\(a _ n\) が偶数のとき \(a _ {n+1} = \dfrac{a _ n}{2}\) , \(a _ n\) が奇数のとき \(a _ {n+1} = \dfrac{a _ n-1}{2}\) .
このときどのような自然数 \(M\) に対しても \[ \sum\limits _ {n=1}^M a _ n \leqq 2^{N+1} -N-5 \] が成り立つことを示せ.
【 解 答 】
\[ \sum\limits _ {n=1}^M a _ n \leqq 2^{N+1} -N-5 \quad ... [ \text{A} ] \] \(S _ M = \sum\limits _ {n=1}^M a _ n\) , \(T _ N = 2^{N+1}-N-5\) とおく.
1* \(N=2\) のとき \[ a _ 1 = 2^2-3 = 1 , \quad a _ 2 = 0 \] なので, \(n \geqq 2\) に対しては \[ a _ n = 0 \] したがって \[ S _ M = 1 \] また \[ T _ 2 = 2^3 -2 -5 = 1 \] したがって, \(N=2\) のとき[A]は成立する.
2* \(N \geqq 3\) のとき \[\begin{align} a _ 1 & = 2^{N -3} , \\ a _ 2 & = \dfrac{a _ 1-1}{2} = 2^{N-1} -2 , \\ a _ 3 & = \dfrac{a _ 2}{2} = 2^{N-2} -1 \end{align}\] ここで, \(2^K -1\) （ \(K\) は自然数）は常に奇数であることから, \(3 \leqq n \leqq N\) について \[ a _ n = 2^{N-n+1} -1 \] さらに, \(a _ N = 1\) なので \[ a _ {N+1} = 0 \] したがって, \(n \geqq N+1\) について \[ a _ n = 0 \] 以上より, \(S _ M\) は \(M\) について単調増加であり, \(M \geqq N\) のときに最大値をとるから \[\begin{align} S _ M & \leqq S _ N \\ & = ( 2^{N}-3 ) +( 2^{N-2}-2 ) +( 2^{N-2}-1 ) \\ & \qquad +\cdots +( 2-1 ) \\ & = 2 \cdot \dfrac{2^N -1}{2-1} -5 -(N-2) \\ & = 2^{N+1} -N -5 \\ & = T _ N \end{align}\] したがって, \(n \geqq 3\) のときも[A]は成立する.
以上より, 題意は示された.