実数を成分とする行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) を考える. 座標平面上の \(2\) 点 \(P \ ( x , y )\) , \(Q \ ( u , v )\) について等式 \[ \left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つとき, 行列 \(A\) により点 \(P\) は点 \(Q\) に移るという. 点 \(( 1 , 3 )\) は行列 \(A\) により点 \(( 10 , 10 )\) に移り, さらに等式 \[ A^2 -7A +10E = O \] が成り立つものとする. ただし, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(O = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) である. このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　行列 \(A\) により \(( 10 , 10 )\) が移る点の座標を求めよ.

2. (2)　実数 \(a , b , c , d\) の値を求めよ.

3. (3)　次の条件 (＊) を満たす直線 \(l\) の方程式を求めよ.

   1. (＊) 直線 \(l\) 上のすべての点が行列 \(A\) により \(l\) 上の点に移る.

【 解 答 】

(1)

移る点を \(( p , q )\) とおけば \[\begin{align} \left( \begin{array}{c} p \\ q \end{array} \right) & = A \left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array} \right) = A^2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right) = \left( 7A -10E \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right) \\ & = 7 \left( \begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array} \right) -10 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 60 \\ 40 \end{array} \right) \end{align}\] ゆえに, R \(\underline{( 60 , 40 )}\) .

(2)

(1) の結果を用いれば \[ A \left( \begin{array}{cc} 1 & 10 \\ 3 & 10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 10 & 60 \\ 10 & 40 \end{array} \right) \quad ... [1] \] \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 10 \\ 3 & 10 \end{array} \right)\) の逆行列は \[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 10 \\ 3 & 10 \end{array} \right)^{-1} = \dfrac{1}{10-30} \left( \begin{array}{cc} 10 & -10 \\ -3 & 1 \end{array} \right) = \dfrac{1}{20} \left( \begin{array}{cc} -10 & 10 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \] これを [1] の両辺に右から掛ければ \[\begin{align} A & = \dfrac{1}{20} \left( \begin{array}{cc} 10 & 60 \\ 10 & 40 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} -10 & 10 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \\ &= \dfrac{1}{20} \left( \begin{array}{cc} 80 & 40 \\ 20 & 60 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \end{align}\] ゆえに \[ a = \underline{4} , \ b = \underline{2} , \ c = \underline{1} , \ d = \underline{3} \]

(3)

直線 \(l\) の表し方によって, 場合分けして考える.

1. 1*　\(x = a\) のとき, 直線上の点は \(( a , t )\) と表せる. \[ \left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a \\ t \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4a+2t \\ a+3t \end{array} \right) \] これが \(l\) 上にあるので \[\begin{align} 4a+2t & = a \\ \text{∴} \quad 2t +3a & = 0 \end{align}\] これは任意の \(t\) について, 成り立たないので不適.

2. 2*　\(y = px+q\) のとき, 直線上の点は \(( t , pt+q )\) と表せる. \[ \left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} t \\ pt+q \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2(p+2)t +2q \\ (3p+1)t +3q \end{array} \right) \] これが \(l\) 上にあるので \[\begin{align} (3p+1)t +3q = p\left\{ (3p+1)t +3q \right\} & +q \\ (2p^2+p-1)t +2pq-2q & = 0 \\ (2p-1)(p+1)t +2q(p-1) & = 0 \end{align}\] これが任意の \(t\) について成り立つので, \[\begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} (2p-1)(p+1)=0 \\ 2q(p-1)=0 \end{array} \right. \\ \text{∴} \quad ( p , q ) = \left( \dfrac{1}{2} , 0 \right) , ( -1 , 0 ) \end{gather}\] よって, 求める直線の方程式は \[ \underline{y = \dfrac{1}{2}x , \ y = -x} \]