三角関数の極限に関する公式 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \] を示すことにより, \(\sin x\) の導関数が \(\cos x\) であることを証明せよ.
【 解 答 】
上図のような単位円を考え, A \((1,0)\) , B \(( \cos x , \sin x )\) , C \(( 1 , \tan x ) \ \left( 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおく.
このとき, \(3\) つの図形 △OAB , △OAC , 扇形 OAB の面積をそれぞれ \(S _ 1 , S _ 2 , S\) とおくと
\[
S _ 1 \lt S \lt S _ 2
\]
が成立する. それぞれを \(x\) を用いて表せば
\[\begin{align}
\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin x & \lt \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x \lt \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x \\
\sin x & \lt x \lt \tan x \\
\text{∴} \quad 1 & \lt \dfrac{x}{\sin x} \lt \dfrac{1}{\cos x} \quad ( \ \text{∵} \ \sin x \gt 0 \ ) \ .
\end{align}\]
ここで, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} \dfrac{1}{\cos x} = 1\) なので, はさみうちの原理より
\[\begin{align}
\displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} \dfrac{x}{\sin x} & = 1 \\
\text{∴} \quad \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} \dfrac{\sin x}{x} & = 1 \quad ... [1] \ .
\end{align}\]
つづいて, \(x \lt 0\) の場合について考える.
\(x = -t\) とおくと, \(t \gt 0\) であり
\[
\dfrac{\sin x}{x} = \dfrac{- \sin t}{-t} = \dfrac{\sin t}{t} \ .
\]
なので, [1] を用いれば
\[
\displaystyle\lim _ {x \rightarrow -0} \dfrac{\sin x}{x} = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow +0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \quad ... [2] \ .
\]
よって, [1] [2] より
\[
\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \ .
\]
これを用いれば, \(\sin x\) の導関数 \(( \sin x )'\) は, 導関数の定義式から
\[\begin{align}
( \sin x )' & = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{\sin (x+h) -\sin x}{h} \\
& = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{2 \cos \left( x+\frac{h}{2} \right) \sin \frac{h}{2}}{h} \\
& = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \cos \left( x+\dfrac{h}{2} \right) \\
& = 1 \cdot \cos x \\
& = \cos x \ .
\end{align}\]