\(xyz\) 空間内の \(3\) 点 O \((0,0,0)\) , A \((1,0,0)\) , B \((1,1,0)\) を頂点とする三角形 OAB を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる円すいを \(V\) とする. 円すい \(V\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.

【 解 答 】

体積を求める立体を \(W\) とおく.
\(V , W\) はともに平面 \(y=0\) について対称なので, \(y \geqq 0\) の部分について考える.

\(V\) の平面 \(y = t \ ( 0 \leqq t \leqq 1)\) による断面は, 下図斜線部のようになる.

これを \(y\) 軸（上図では原点）中心に回転させた図形が, \(W\) の平面 \(y = t\) による断面であり, その面積を \(S(t)\) とおくと \[\begin{align} S(t) & = \pi \left\{ \left( 2-t^2 \right) -t^2 \right\} \\ & = 2 \pi \left( 1-t^2 \right) \ . \end{align}\] よって, \(W\) の体積は \[\begin{align} 2 \displaystyle\int _ 0^1 S(t) \, dt & = 4 \pi \displaystyle\int _ 0^1 \left( 1-t^2 \right) \, dt \\ & = 4 \pi \left[ t -\dfrac{t^3}{3} \right] _ 0^1 \\ & = \underline{\dfrac{8 \pi}{3}} \ . \end{align}\]