\(2\) 次正方行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) のうち, 次の \(3\) 条件 (i) , (ii) , (iii) を満たすもの全体の集合を \(M\) とする.

1. (i)　\(a , b , c , d\) はすべて整数

2. (ii)　\(b+c = 0\)

3. (iii)　\(a-b-d = 0\)

また \(E\) を \(2\) 次単位行列とする. このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　行列 \(A , B\) がともに \(M\) の要素であるとき, それらの積 \(AB\) も \(M\) の要素であることを示せ.

2. (2)　行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) とその逆行列 \(A^{-1}\) がともに \(M\) の要素であるとき, \(ad-bc = 1\) が成立することを示せ.

3. (3)　行列 \(A\) とその逆行列 \(A^{-1}\) がともに \(M\) の要素であるような \(A\) をすべて求めよ.

4. (4)　自然数 \(n\) について, \(M\) の要素であって \(A^n = E\) を満たすような行列 \(A\) の全体の集合を \(S _ n\) とする. \(S _ n\) の要素の個数がちょうど \(3\) となる \(n\) をすべて求めよ.

【 解 答 】

(1)

条件 (ii) , (iii) より \[ c = -b , \ d = a-b \ . \] なので, 集合 \(M\) に属する行列は, \[ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a-b \end{array} \right) \quad ( \ a , b \text{は整数} ) \quad ... [1] \ . \] と表せる. \(A = \left( \begin{array}{cc} p & q \\ -q & p-q \end{array} \right)\) , \(B = \left( \begin{array}{cc} r & s \\ -s & r-s \end{array} \right)\) （ \(p , q , r , s\) は整数）とおくと \[\begin{align} AB & = \left( \begin{array}{cc} p & q \\ -q & p-q \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} r & s \\ -s & r-s \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} pr-qs & ps+q(r-s) \\ -ps-q(r-s) & -qs+(p-q)(r-s) \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} pr-qs & ps+q(r-s) \\ -ps-q(r-s) & (pr-qs) -\left\{ ps+q(r-s) \right\} \end{array} \right) \ . \end{align}\] \(pr-qs , (ps+q(r-s)\) も整数なので, \(AB\) も [1] のように表せて, 集合 \(M\) に属する.

(2)

行列 \(A\) の行列式を \(|A|\) と表す.
逆行列 \(A^{-1}\) について \[ A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \ . \] なので \[\begin{align} | A^{-1} | = \dfrac{ad-bc}{|A|^2} & = \dfrac{1}{|A|} \\ \text{∴} \quad |A| | A^{-1} | & = 1 \ . \end{align}\] \(A , A^{-1}\) はともに \(M\) の要素なので, その行列式 \(|A| , | A^{-1} |\) はともに整数であるから \[ |A| = \pm 1 \ . \] ところで, [1] より \[\begin{align} |A| & = a(a-b) -b(-b) \\ & = a^2-ab+b^2 \\ & = \left( a-\dfrac{b}{2} \right)^2 +\dfrac{3 b^2}{4} \geqq 0 \quad ... [2] \ . \end{align}\] であるから \[ |A| = ad-bc = 1 \ . \]

(3)

(2) の結果と, [2] より \[\begin{align} \left( a-\dfrac{b}{2} \right)^2 +\dfrac{3 b^2}{4} & = 1 \\ \text{∴} \quad (2a-b)^2+3b^2 & = 4 \ . \end{align}\] \(a , b\) は整数なので, \[\begin{align} ( 2a-b , b ) & = ( \pm 2 , 0 ) , ( \pm 1 , \pm 1 ) , ( \pm 1 , \mp 1 ) \quad ( \text{複号同順} ) \\ \text{∴} \quad (a,b) & = ( \pm 1 , 0 ) , ( \pm 1 , \pm 1 ) , ( 0 , \mp 1 ) \quad ( \text{複号同順} ) \ . \end{align}\] よって, 求める行列 \(A\) は \[ A = \underline{\left( \begin{array}{cc} \pm 1 & 0 \\ 0 & \pm 1 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{cc} \pm 1 & \pm 1 \\ \mp 1 & 0 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{cc} 0 & \mp 1 \\ \pm 1 & \pm 1 \end{array} \right)} \quad ( \text{複号同順} ) \ . \]

(4) \[ A^n = E \ ... [3] \ . \] 集合 \(S _ n\) の要素の個数を \(|S _ n|\) で表す.
\(n=1\) のとき, \(A=E\) で, \(|S _ 1| = 1\) なので, 条件を満たさない.
以下では, \(n \geqq 2\) について考える.
(1) の結果より, \(A^m\) （ \(m\) は任意の自然数）は \(M\) の要素である.
また, [3] より \[ A^{-1} = A^{n-1} \ . \] なので, \(A^{-1}\) も \(M\) の要素である.
したがって, \(A , A^{-1}\) がともに \(M\) の要素であるような \(A\) は, (3) の結果より \[ A = \pm E , \pm C ,\pm D \\ \left( \text{ただし, } \ C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) , \ D = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \ \right) \] の \(6\) つが考えられる.

1. 1*　\(A = E\) のとき
   すべての自然数 \(n\) について, [3] は成立する.

2. 2*　\(A = -E\) のとき
   \(A^2 = E\) なので, \(n\) が偶数のとき, [3] が成立する.

3. 3*　\(A = C\) のとき \[\begin{align} C^2 & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right) = D \quad ... [4] \\ C^3 & = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = E \ . \end{align}\] なので, \(n\) が \(3\) の倍数のとき, [3] が成立する.

4. 4*　\(A = -C\) のとき
   3* のときより \[ C^2 = D , \ C^3 = -E \ . \] さらに \[ C^4 = C , \ C^5 = -D , \ C^6 = E \ . \] なので, \(n\) が \(6\) の倍数のとき, [3] が成立する.

5. 5*　\(A=D\) のとき
   [4] を用いれば \[ D^2 = C^4 = C , \ D^3 = CD = E \ . \] なので, \(n\) が \(3\) の倍数のとき, [3] が成立する.

6. 6*　\(A=-D\) のとき
   5* のときより \[ D^2 = C , \ D^3 = -CD = -E \ . \] さらに \[ D^4 = D , \ D^5 = -C , \ D^6 = E \ . \] なので, \(n\) が \(6\) の倍数のとき, [3] が成立する.

以上より, \(n\) の \(\text{mod} \ 6\) の剰余で分けて考えると \[ | S _ n | = \left\{\begin{array}{ll} 6 & ( n \equiv 0 \text{のとき} ) \\ 1 & ( n \equiv \pm 1 \text{のとき} ) \\ 2 & ( n \equiv \pm 2 \text{のとき} ) \\ 3 & ( n \equiv 3 \text{のとき} ) \end{array} \right. \ . \] よって, 求める \(n\) は \[ n = \underline{6k-3} \quad ( \ k \text{は自然数} ) \ . \]