\(xy\) 平面上の \(2\) 曲線 \(C _ 1 : \ y= \dfrac{\log x}{x}\) と \(C _ 2 : \ y = ax^2\) は点 P を共有し, P において共通の接線をもっている. ただし, \(a\) は定数とする. 次の問いに答えよ.
(1) 関数 \(y = \dfrac{\log x}{x}\) の増減, 極値, グラフの凹凸, 変曲点を調べ, \(C _ 1\) の概形を描け. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{\log x}{x}=0\) は証明なしに用いてよい.
(2) P の座標および \(a\) の値を求めよ.
(3) 不定積分 \(\displaystyle\int \left( \dfrac{\log x}{x} \right)^2 \, dx\) を求めよ.
(4) \(C _ 1 , C _ 2\) および \(x\) 軸で囲まれる部分を, \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積 \(V\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
関数 \(y =\dfrac{\log x}{x}\) の定義域は, \(x \gt 0\) . \[\begin{align} y' & = \dfrac{\dfrac{1}{x} \cdot x -1 \cdot \log x}{x^2} \\ & = \dfrac{1 -\log x}{x^2} , \\ y'' & = \dfrac{-\dfrac{1}{x} \cdot x^2 -2x( 1-\log x )}{x^4} \\ & = \dfrac{2 \log x -3}{x^3} \end{align}\] \(y'=0\) を解くと \[ x = e \] \(y''=0\) を解くと \[ x = e^{\frac{3}{2}} \] \(t = \dfrac{1}{x}\) とおくと, \(x \rightarrow +0\) のとき, \(t \rightarrow +\infty\) なので \[ f(x) = t \log \dfrac{1}{t} = -t \log t \rightarrow -\infty \] なので \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow +0} f(x) = -\infty \] また \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{\log x}{x} = 0 \] 以上より, \(f(x)\) の増減表は下のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccccc} x & (0) & \cdots & e & \cdots & e^{\frac{3}{2}} & \cdots & ( +\infty ) \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & & - & \\ \hline f''(x) & & - & & - & 0 & + & \\ \hline f(a) & (-\infty) & \nearrow (\cap) & \dfrac{1}{e} & \searrow (\cap) & \dfrac{3}{2 e^{\frac{3}{2}}} & \searrow (\cup) & ( 0 ) \end{array} \] したがって
極値は, \(\underline{x=e}\) のとき, 極大値 \(\underline{\dfrac{1}{e}}\)
変曲点は, \(\underline{\left( e^{\frac{3}{2}} , \dfrac{3}{2 e^{\frac{3}{2}}} \right)}\)
であり, グラフの概形は下図のようになる.
(2)
\(C _ 2 : \ y = ax^2\) について \[ y' = 2ax \] P の \(x\) 座標を \(p\) とおけば, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の \(y\) 座標, 接線の傾きがともに等しいので \[ \left\{ \begin{array}{l} ap^2 = \dfrac{\log p}{p} \\ 2ap = \dfrac{1 -\log p}{p^2} \end{array} \right. \] これより \[\begin{align} ap^3 = \log p & = \dfrac{1 -\log p}{2} \\ \text{∴} \quad \log p & = \dfrac{1}{3} \\ \text{∴} \quad p & = e^{\frac{1}{3}} \end{align}\] このとき, P の \(y\) 座標は \[\begin{gather} \dfrac{\log p}{p} = \dfrac{1}{3 e^{\frac{1}{3}}} \\ \text{∴} \quad \text{P} \ \underline{\left( e^{\frac{1}{3}} , \dfrac{1}{3 e^{\frac{1}{3}}} \right)} \end{gather}\] また \[ a = \dfrac{\log p}{p^3} = \underline{\dfrac{1}{3e}} \]
(3)
\[\begin{align} \displaystyle\int \left( \dfrac{\log x}{x} \right)^2 \, dx & = -\dfrac{( \log x )^2}{x} +\displaystyle\int \dfrac{2 \log x}{x^2} \, dx \\ & = -\dfrac{( \log x )^2}{x} -\dfrac{2 \log x}{x} +2 \displaystyle\int \dfrac{1}{x^2} \, dx \\ & = \underline{-\dfrac{( \log x )^2}{x} -\dfrac{2 \log x}{x} -\dfrac{2}{x^2} +C} \end{align}\] ただし, \(C\) は積分定数.
(4)
求める体積 \(V\) は下図斜線部の回転体 \(V _ 1 , V _ 2\) を用いて \[ V = V _ 1 -V _ 2 \] と表せる.
\[\begin{align} V _ 1 & = \pi \displaystyle\int _ 0^{e^{\frac{1}{3}}} \left( \dfrac{x^2}{3e} \right)^2 \, dx \\ & = \dfrac{1}{9e^2} \left[ \dfrac{x^5}{5} \right] _ 0^{e^{\frac{1}{3}}} = \dfrac{1}{9e^2} \cdot \dfrac{e^{\frac{5}{3}}}{5} \\ & = \dfrac{\pi}{45 e^{\frac{1}{3}}} , \\ V _ 2 & = \pi \displaystyle\int _ 1^{e^{\frac{1}{3}}} \left( \dfrac{\log x}{x} \right)^2 \, dx \\ & = \pi \left[ -\dfrac{( \log x )^2}{x} -\dfrac{2 \log x}{x} -\dfrac{2}{x^2} \right] _ 1^{e^{\frac{1}{3}}} \\ & = \left( 2 -\dfrac{\dfrac{1}{9} +2 \cdot \dfrac{1}{3} +2}{e^{\frac{1}{3}}} \right) \pi \\ & = \left( 2 -\dfrac{25}{9 e^{\frac{1}{3}}} \right) \pi \end{align}\] ゆえに \[ V = V _ 1 -V _ 2 = \underline{\left( \dfrac{14}{5 e^{\frac{1}{3}}} -2 \right) \pi} \]