A , B の \(2\) 人が, サイコロを \(1\) 回ずつ交互に投げるゲームを行う. 自分の出したサイコロの目を合計して先に \(6\) になった方が勝ちとし, その時点でゲームを終了する. A から投げ始めるものとし, 以下の問いに答えよ.
(1) A がちょうど \(2\) 回投げて A が勝ちとなる確率を求めよ.
(2) B がちょうど \(2\) 回投げて B が勝ちとなる確率を求めよ.
(3) B がちょうど \(3\) 回投げて, その時点でゲームが終了していない確率を求めよ.
【 解 答 】
\(1\) 人で繰返しサイコロをふり, 出た目の和が \(n\) 回目に初めて \(6\) 以上になる確率を \(p _ n\) , \(n\) 回目でまだ \(5\) 以下である確率を \(q _ n\) とおく.
\(1\) 回目について
終了するのは, \(6\) が出たときのみなので \[ p _ 1 = \dfrac{1}{6} , \ q _ 1 = \dfrac{5}{6} \ . \]\(2\) 回目について
終了しない目の組合せは, \((1,1) , (2,2)\) と \((1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3)\) なので \[ q _ 2 = \dfrac{2 +2 \cdot 4}{6^2} = \dfrac{5}{18} \ . \] したがって \[ p _ 2 = q _ 1 -q _ 2 = \dfrac{5}{9} \ . \]\(3\) 回目について
終了しない目の組合せは, \((1,1,1)\) と \((1,1,2) , (1,1,3) , (1,2,2)\) なので \[ q _ 3 = \dfrac{1 +3 \cdot 3}{6^3} = \dfrac{5}{108} \ . \]
(1)
B が \(1\) 回で終了せず, A が \(2\) 回目で終了すればよいので, 求める確率は \[ q _ 1 p _ 2 = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{9} = \underline{\dfrac{25}{54}} \ . \]
(2)
A が \(2\) 回で終了せず, B が \(2\) 回目で終了すればよいので, 求める確率は \[ q _ 2 p _ 2 = \dfrac{5}{18} \cdot \dfrac{5}{9} = \underline{\dfrac{25}{162}} \ . \]
(3)
A , B ともに \(3\) 回で終了しなければよいので, 求める確率は \[ {q _ 3}^2 = \left( \dfrac{5}{108} \right)^2 = \underline{\dfrac{25}{11664}} \ . \]