次の問いに答えよ.
(1) 不定積分 \(\displaystyle\int e^{-x} \sin^2 x \, dx\) を求めよ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 \sqrt{1 +2 \sqrt{x}} \, dx\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
求める不定積分を \(I\) とおく. \[\begin{align} I & = \displaystyle\int e^{-x} \dfrac{1 -\cos 2x}{2} \, dx \\ & = -\dfrac{e^{-x}}{2} -\dfrac{1}{2} \underline{\displaystyle\int e^{-x} \cos 2x \, dx} \quad ... [1] \end{align}\] ここで下線部を \(J\) とおくと, 部分積分を用いて \[\begin{align} J & = -e^{-x} \cos 2x +\dfrac{1}{2} \displaystyle\int e^{-x} \sin 2x \, dx \\ & = e^{-x} \cos 2x -\dfrac{e^{-x}}{2} \sin 2x -\dfrac{1}{4} \displaystyle\int e^{-x} \cos 2x \, dx \\ & = -\dfrac{e^{-x}}{2} \left( 2 \cos 2x +\sin 2x \right) -\dfrac{J}{4} \end{align}\] したがって \[\begin{gather} \dfrac{5}{4} J = -\dfrac{e^{-x}}{2} \left( 2 \cos 2x +\sin 2x \right) \\ \text{∴} \quad J = -\dfrac{2 e^{-x}}{5} \left( 2 \cos 2x +\sin 2x \right) \end{gather}\] よって, [1] に代入して \[ I = \underline{-\dfrac{e^{-x}}{10} \left( 5 +4 \cos 2x +2 \sin 2x \right) +C} \] ただし, \(C\) は積分定数.
(2)
求める積分値を \(I\) とおく.
\(t = 1 +2 \sqrt{x}\) とおくと
\[\begin{gather}
dt = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\
\text{∴} \quad dx = \dfrac{t-1}{2} dt
\end{gather}\]
また
\[
\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & 1 \\ \hline t & 1 & \rightarrow & 3 \end{array}
\]
なので, 置換積分を用いれば
\[\begin{align}
I & = \displaystyle\int _ {1}^{3} \sqrt{t} \cdot \dfrac{t-1}{2} \, dt \\
& = \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} -\dfrac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \right] _ {1}^{3} \\
& = \left( \dfrac{9 \sqrt{3}}{5} -\sqrt{3} \right) -\left( \dfrac{1}{5} -\dfrac{1}{3} \right) \\
& = \underline{\dfrac{4 \sqrt{3}}{5} +\dfrac{2}{15}}
\end{align}\]