\(3\) 辺の長さが \(a\) と \(b\) と \(c\) の直方体を, 長さが \(b\) の \(1\) 辺を回転軸として \(90^{\circ}\) 回転させるとき, 直方体が通過する点全体がつくる立体を \(V\) とする.
(1) \(V\) の体積を \(a\) , \(b\) , \(c\) を用いて表せ.
(2) \(a+b+c=1\) のとき, \(V\) の体積のとりうる値の範囲を求めよ.
【 解 答 】
(1)
直方体が通過する点全体が作る立体を \(D\) とおく.
\(D\) を, 長さ \(b\) の辺に垂直な方向から見ると, 下図斜線部.
この面積 \(S\) は \[ S = \dfrac{\pi}{4} \left( a^2+c^2 \right) +ac \] よって \[ V = bS = \underline{ b \left\{ \dfrac{\pi}{4} \left( a^2+c^2 \right) + ac \right\} } \]
(2)
\(a+b+c=1\) より
\[
b=1-a-c
\]
\(p=a+c\) , \(q=ac\) とおくと
\[
0 \lt p \lt 1 , \quad 0 \lt q \leqq \dfrac{p^2}{4}
\]
これらを用いると
\[\begin{align}
V & = (1-p)\left\{ \dfrac{\pi}{4} \left( p^2-2q \right) +q \right\} \\
& = (1-p)\left\{ \left( 1 - \dfrac{\pi}{2} \right) q + \dfrac{\pi}{4} p^2 \right\}
\end{align}\]
ここで \(p\) を定数とみなすと, \(V\) は \(q\) の \(1\) 次関数であり, 傾き \(( 1-p ) \left( 1- \dfrac{\pi}{2} \right) \lt 0\) なので
\[
(1-p) \left\{ \left( 1 - \dfrac{\pi}{2} \right) \dfrac{p^2}{4} + \dfrac{\pi}{4} p^2 \right\} \leqq V \lt (1-p) \cdot \dfrac{\pi}{4} \, p^2 \\
\text{∴} \quad \dfrac{\pi + 2}{8} \, p^2 (1-p) \leqq V \lt \dfrac{\pi}{4} \, p^2 (1-p) \quad ... [1]
\]
つぎに \(p\) を変数とみなす.
\(f(p) = p^2(1-p) = p^2-p^3\) とおくと
\[
f'(p) = 2p -3p^2 = p (2-3p)
\]
\(f'(p)=0\) をとくと
\[
p = 0 , \, \dfrac{2}{3}
\]
したがって, \(0 \lt p \lt 1\) における \(f(p)\) の増減表は下表のとおり
\[
\begin{array}{c|ccccc} p & 0 & \cdots & \dfrac{2}{3} & \cdots & 1 \\ \hline f'(p) & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f(p) & 0 & \nearrow & \dfrac{4}{27} & \searrow & 0 \end{array}
\]
ゆえに
\[
0 \lt p^2(1-p) \leqq \dfrac{4}{27} \quad ... [2]
\]
よって, [1] [2] より
\[
\underline{0 \lt V \lt \dfrac{\pi}{27}}
\]