\(xyz\) 空間において, 点 \(A (1,0,0)\) , \(B (0,1,0)\) , \(C (0,0,1)\) を通る平面上にあり, 正三角形 \(ABC\) に内接する円板 \(D\) とする. 円板 \(D\) の中心を \(P\) , 円板 \(D\) と辺 \(AB\) の接点を \(Q\) とする.
(1) 点 \(P\) と点 \(Q\) の座標を求めよ.
(2) 円板 \(D\) が平面 \(z = t\) と共有点をもつ \(t\) の範囲を求めよ.
(3) 円板 \(D\) と平面 \(z = t\) の共通部分が線分であるとき, その線分の長さを \(t\) を用いて表せ.
(4) 円板 \(D\) を \(z\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\triangle ABC \) は正三角形なので, 内心は重心に一致するので \[ P \ \underline{\left( \dfrac{1}{3} , \dfrac{1}{3} , \dfrac{1}{3} \right)} \] 同じ理由より, \(Q\) は \(AB\) の中点だから \[ Q \ \underline{\left( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} , 0 \right)} \]
(2)
\(D\) に含まれる点の \(z\) 座標のとる値の範囲を求めればよい.
上図のように, \(CQ\) と \(D\) の共有点を \(R\) とおくと, 点 \(R\) で \(z\) 座標が最大となる.
(1) の結果も用いれば
\[
\overrightarrow{PR} = -\overrightarrow{PQ} = \left( -\dfrac{1}{6} , -\dfrac{1}{6} , \dfrac{1}{3} \right) \quad ... [1]
\]
したがって
\[
R \ \left( \dfrac{1}{6} , \dfrac{1}{6} , \dfrac{2}{3} \right)
\]
また, \(z\) 座標が最小になるのは, 点 \(Q\) である.
よって, 求める値の範囲は
\[
\underline{0 \leqq t \leqq \dfrac{2}{3}}
\]
(3)
上図のように, 平面 \(z = t\) と \(D\) との交線上の点を \(S , T , T'\) とおく.
[1] より, \(D\) の半径 \(r\) は
\[
r = \dfrac{1}{6} \sqrt{1^2+1^2+2^2} = \dfrac{\sqrt{6}}{6}
\]
\(S , P\) はともに, \(QC\) 上の点なので \(z\) 座標に着目すれば
\[
PS = \dfrac{\left| \frac{1}{3} -t \right|}{\frac{1}{3}} PQ = | 1-3t | r
\]
ゆえに
\[\begin{align}
ST & = \sqrt{\text{PT}^2 -\text{PS}^2} \\
& = r \sqrt{1 -( 1-3t )^2} \\
& = \dfrac{\sqrt{2t(2-3t)}}{2}
\end{align}\]
よって, 求める線分の長さは
\[
TT' = 2 ST = \underline{\sqrt{2t(2-3t)}}
\]
(4)
\(O' \ ( 0 , 0 , t )\) とおくと, \(\triangle O'ST\) は直角三角形である.
なので, 回転体の平面 \(z = t \ \left( 0 \leqq t \leqq \dfrac{2}{3} \right)\) による断面の面積 \(S(t)\) は, 三平方の定理を用いて
\[\begin{align}
S(t) & = \pi \left( O'T^2 -O'S^2 \right) \\
& = \pi ST^2 = \dfrac{\pi t(2-3t)}{2}
\end{align}\]
よって, 回転体の体積 \(V\) は
\[\begin{align}
V & = \displaystyle\int _ {0}^{\frac{2}{3}} S(t) \, dt \\
& = \dfrac{1}{2} \pi \left[ t^2 -t^3 \right] _ {0}^{\frac{2}{3}} \\
& = \underline{\dfrac{2 \pi}{27}}
\end{align}\]