\(3\) つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) が \[\begin{align} a _ {n+1} & = -b _ n -c _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \\ b _ {n+1} & = -c _ n -a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \\ c _ {n+1} & = -a _ n -b _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{align}\] および \(a _ 1 = a\) , \(b _ 1 = b\) , \(c _ 1 = c\) を満たすとする. ただし, \(a , b , c\) は定数とする.
(1) \(p _ n = a _ n +b _ n +c _ n \ ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) で与えられる数列 \(\{ p _ n \}\) の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S _ n\) を求めよ.
(2) 数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) の一般項を求めよ.
(3) \(q _ n = (-1)^n \left\{ (a _ n)^2 +(b _ n)^2 +(c _ n)^2 \right\} \ ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) で与えられる数列 \(\{ q _ n \}\) の初項から第 \(2n\) 項までの和を \(T _ n\) とする. \(a+b+c\) が奇数であれば, すべての自然数 \(n\) に対して \(T _ n\) が正の奇数であることを数学的帰納法を用いて示せ.
【 解 答 】
(1)
与えられた \(3\) 式を辺々加えると \[ p _ {n+1} = -2 p _ n \] したがって, 数列 \(\{ p _ n \}\) は, 初項 \(p _ 1 = a+b+c\) , 公比 \(-2\) の等比数列であり, \[ p _ n = (-2)^{n-1} (a+b+c) \] よって, 求める和 \(S _ n\) は \[\begin{align} S _ n & = (a+b+c) \dfrac{1 -(-2)^n}{1 -(-2)} \\ & = \underline{\dfrac{a+b+c}{3} \left\{ 1 -(-2)^n \right\}} \end{align}\]
(2)
条件より
\[\begin{gather}
a _ {n+1} = -p _ {n} +a _ n \\
\text{∴} \quad a _ {n+1} -a _ n = -p _ {n}
\end{gather}\]
したがって, \(n \geqq 2\) に対して
\[\begin{align}
a _ n & = a _ 1 + \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} (-p _ k) \\
& = a -S _ {n-1} \\
& = \underline{a -\dfrac{a+b+c}{3} \left\{ 1 -(-2)^{n-1} \right\}}
\end{align}\]
これは, \(n=1\) のときも成立する.
同様に考えれば
\[\begin{align}
b _ n & = \underline{b -\dfrac{a+b+c}{3} \left\{ 1 -(-2)^{n-1} \right\}} , \\
c _ n & = \underline{c -\dfrac{a+b+c}{3} \left\{ 1 -(-2)^{n-1} \right\}}
\end{align}\]
(3)
まず \[ q _ {n} = (-1)^{n+1} \left\{ (p _ n)^2 -2 ( a _ n b _ n +b _ n c _ n +c _ n a _ n ) \right\} \] なので, 「 \(p _ n\) と \(q _ n\) の奇偶は一致する. 」 ... [1] また \[\begin{align} q _ {2n-1} +q _ {2n} & = -\left\{ (a _ {2n-1})^2 +(b _ {2n-1})^2 +(c _ {2n-1})^2 \right\} \\ & \hspace{2em} 2 \left\{ (a _ {2n-1})^2 +(b _ {2n-1})^2 +(c _ {2n-1})^2 \right. \\ & \hspace{4em} \left. + a _ {2n-1} b _ {2n-1} +b _ {2n-1} c _ {2n-1} +c _ {2n-1} a _ {2n-1} \right\} \\ & = ( p _ {2n-1} )^2 \end{align}\] 条件より, \(p _ 1\) は奇数なので「 \(q _ {1} +q _ {2}\) は正の奇数である. 」 ... [2] さらに, (1) の経過より, \(p _ n \ ( n \geqq 2 )\) は偶数なので, 「 \(q _ {2n-1} +q _ {2n} \ ( n \geqq 2 )\) は \(0\) 以上の偶数である. 」 ... [3] これらを用いて,
- [A] ... 「 和 \(T _ {2n}\) は正の奇数である. 」
が, すべての自然数 \(n\) に対して成立することを数学的帰納法を用いて示す.
1* \(n=1\) のとき
[2] より, [A] が成立する.2* \(n=k\) のとき, [A] が成立すると仮定すると \[ T _ {2(k+1)} = T _ {2k} +\underline{q _ {2k+1} +q _ {2k+2}} _ {[4]} \] において, 仮定より \(T _ {2k}\) は正の奇数であり, 下線部 [4] は [3] より \(0\) 以上の偶数である.
したがって, \(T _ {2(k+1)}\) は正の奇数であり, \(n = k+1\) のときも [A] が成立する.
以上より, 題意は示された.