放物線 \(C : \ y^2 = 4px \ (p \gt 0 )\) の焦点 F \(( p , 0 )\) を通る \(2\) 直線 \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) は互いに直交し, \(C\) と \(\ell _ 1\) は \(2\) 点 \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2\) で, \(C\) と \(\ell _ 2\) は \(2\) 点 \(\text{Q} _ 1 , \text{Q} _ 2\) で交わるとする. 次の問に答えよ.
(1) \(\ell _ 1\) の方程式を \(x = ay+p\) と置き, \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2\) の座標をそれぞれ \(( x _ 1 , y _ 1 ) , \ ( x _ 2 , y _ 2 )\) とする. \(y _ 1 +y _ 2 , \ y _ 1 y _ 2\) を \(a\) と \(p\) で表せ.
(2) \(\dfrac{1}{\text{P} _ 1 \text{P} _ 2} +\dfrac{1}{\text{Q} _ 1 \text{Q} _ 2}\) は \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) のとり方によらず一定であることを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) の式と \(\ell _ 1\) の式から \(x\) を消去して \[\begin{gather} y^2 = 4p( ay+p ) \\ \text{∴} \quad y^2 -4pay -4p^2 = 0 \end{gather}\] この方程式の \(2\) 解が \(y _ 1 , y _ 2\) なので, 解と係数の関係より \[ y _ 1 +y _ 2 = \underline{4pa} , \ y _ 1 y _ 2 = \underline{-4p^2} \]
(2)
(1) の結果を用いれば \[\begin{align} \left| y _ 1 -y _ 2 \right| & = \sqrt{( y _ 1 +y _ 2 )^2 -4 y _ 1 y _ 2} \\ & = \sqrt{(4pa)^2 -4 (-4p^2)} \\ & = 4p \sqrt{a^2+1} \end{align}\] \(\ell _ 1\) の傾きは \(a\) なので \[\begin{align} \text{P} _ 1\text{P} _ 2 & = \sqrt{1+a^2} \left| y _ 1 -y _ 2 \right| \\ & = 4p ( a^2+1 ) \quad ... [1] \end{align}\] \(\ell _ 2\) に対しても同様に考えると, \(\ell _ 2\) の傾きは \(-\dfrac{1}{a}\) なので, [1] において \(a \rightarrow -\dfrac{1}{a}\) と置き換えればよく \[\begin{align} \text{Q} _ 1\text{Q} _ 2 & = 4p \left\{ \left( -\dfrac{1}{a} \right)^2 +1 \right\} \\ & = \dfrac{4p ( a^2+1 )}{a^2} \quad ... [2] \end{align}\] よって, [1] [2] より \[\begin{align} \dfrac{1}{\text{P} _ 1\text{P} _ 2} +\dfrac{1}{\text{Q} _ 1\text{Q} _ 2} & = \dfrac{1}{4p^2 (a^2+1)} +\dfrac{a^2}{4p^2 (a^2+1)} \\ & = \dfrac{1}{4p} \end{align}\] これは \(a\) によらず一定である.