複素数 \(z = 1+2 \sqrt{6} i\) と自然数 \(n = 1, 2, 3, \cdots\) について, 複素数 \(z^n\) を実数 \(a _ n , b _ n\) を用いて \[ z^n = a _ n +b _ n i \] と表す. 次の問に答えよ.

1. (1)　\({a _ n}^2 +{b _ n}^2 = 5^{2n} \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) であることを示せ.

2. (2)　すべての \(n\) について \(a _ {n+2} = pa _ {n+1} +qa _ {n}\) が成り立つ定数 \(p , q\) を求めよ.

3. (3)　どんな \(n\) についても \(a _ n\) は \(5\) の整数倍ではないことを示せ.

4. (4)　\(z^n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) は実数でないことを示せ.

【 解 答 】

(1)

条件より \[ |z| = \sqrt{1^2 +\left( 2 \sqrt{6} \right)^2} = 5 \] 一般に複素数 \(z\) に対して, \(\left| z^n \right| = |z|^n\) なので \[ {a _ n}^2 +{b _ n}^2 = \left| z^n \right|^2 = |z|^{2n} = 5^{2n} \]

(2)

\[\begin{align} z^{n+1} & = \left( 1 +2 \sqrt{6} i \right) \left( a _ n +b _ n i \right) \\ & = \left( a _ n -2 \sqrt{6} b _ n \right) +\left( 2 \sqrt{6} a _ n +b _ n \right) i \end{align}\] なので \[ \left\{\begin{array}{ll} a _ {n+1} = a _ n -2 \sqrt{6} b _ n & \ ... [1] \\ b _ {n+1} = 2 \sqrt{6} a _ n +b _ n & \ ... [2] \end{array}\right. \] [1] より \[ 2 \sqrt{6} b _ n = a _ {n+1} -a _ n \] これを \([2] \times 2 \sqrt{6}\) に代入して \[\begin{align} a _ {n+1} -a _ {n+2} & = 24a _ n +a _ n -a _ {n+1} \\ \text{∴} \quad a _ {n+2} & = 2 a _ {n+1} -25a _ n \quad ... [3] \end{align}\] よって \[ p = \underline{2} , \ q = \underline{-25} \]

(3)

1. [A] ...「 \(a _ n\) は \(5\) の倍数ではない. 」

が, すべての自然数 \(n\) について成り立つことを数学的帰納法を用いて示す.

1. 1*　\(n = 1\) のとき
   \(a _ 1 = 1\) なので, [A] は成り立つ.

2. 2*　\(n = 2\) のとき
   [1] より \[ a _ 2 = 1 -2 \sqrt{6} \cdot 2 \sqrt{6} = -23 \] なので, [A] は成り立つ.

3. 3*　\(n = k , k+1\) のときに, [A] が成り立つと仮定する.
   ここで, \(a _ {k+2}\) が \(5\) の倍数である, すなわち \[ a _ {n+2} = 5M \quad ( \ M \text{は整数} ) \] と仮定すると, [3] より \[ 2 a _ {k+1} = -a _ {k+2} -25a _ k = -5 ( M +5a _ k ) \] なので, \(a _ {k+1}\) は \(5\) の倍数となるが, これは矛盾である.
   したがって, \(a _ {k+2}\) は \(5\) の倍数ではなく, \(n = k+2\) のとき [A] が成り立つ.

以上より, 題意は示された.

(4)

\(b _ n \neq 0\) であることを示せばよい.
\(b _ n\) が \(5\) の倍数, すなわち \[ b _ n = 5N \quad ( \ N \text{は整数} ) \] と仮定すると, (1) の結果より \[ {a _ n}^2 = 5^{2n} -(5N)^2 = 5^2 \left( 5^{2(n-1)} -N \right) \] なので, \(a _ n\) は \(5\) の倍数となるが, これは (3) の結果に矛盾する.
よって, \(b _ n\) は \(5\) の倍数ではないので \[ b _ n \neq 0 \] よって, 題意は示された.