半径 \(1\) の半円を底面とし, 高さが \(1\) の半円柱に含まれる立体 \(R\) がある. その高さ \(x \ ( 0 \leqq x \leqq 1 )\) での断面が, 次の図のように \(2\) つの直角三角形を合わせた形になっている. 次の問に答えよ.
(1) 高さ \(x\) での \(R\) の断面積 \(S(x)\) を求めよ.
(2) \(R\) の体積を求めよ. 必要ならば, 積分する際に \(x = \sin t\) と置き換えよ.
【 解 答 】
(1)
上図のように点を定める.
△OHP に着目すると
\[
\text{PH} = \sqrt{1-x^2}
\]
\(\triangle \text{AHP} \sim \triangle \text{AOQ}\) で, 相似比は \(1+x : 1\) なので
\[
\text{OQ} = \dfrac{\text{PH}}{1+x} = \dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x}
\]
よって, 求める面積は
\[\begin{align}
S(x) & = 2 \triangle \text{ABP} -\triangle \text{ABQ} \\
& = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{1-x^2} -\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{\sqrt{1-x^2}}{1+x} \\
& = \underline{\dfrac{( 1+2x ) \sqrt{1-x^2}}{1+x}}
\end{align}\]
(2)
求める体積 \(V\) は \[ V = \displaystyle\int _ 0^1 S(x) \, dx \] ここで, \(x = \sin t\) とおくと \[\begin{gather} dx = \cos t \, dt , \\ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & \rightarrow & 1 \\ \hline t & 0 & \rightarrow & \dfrac{\pi}{2} \end{array} \end{gather}\] なので \[\begin{align} V & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{( 1 +2 \sin t ) \cos t}{1 +\sin t} \cdot \cos t \, dt \\ & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} \left( 2 -\dfrac{1}{1 +\sin t} \right) \cos^2 t \, dt \\ & = \displaystyle\int _ 0^{\frac{\pi}{2}} \left\{ \cos 2t +1 -( 1 -\sin t ) \right\} \, dt \\ & = \left[ \dfrac{1}{2} \sin 2t -\cos t \right] _ 0^{\frac{\pi}{2}} \\ & = \underline{1} \end{align}\]