\(2\) つの箱 L と R , \(30\) 個のボール, コイン投げで表と裏が等確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出るコインを \(1\) 枚用意する. \(x\) を \(0\) 以上 \(30\) 以下の整数とする. L に \(x\) , R に \(30-x\) 個のボールを入れ, 次の操作 (＃) を繰り返す.
- (＃) 箱 L に入っているボールの個数を \(z\) とする. コインを投げ, 表が出れば箱 R から箱 L に, 裏が出れば箱 L から箱 R に, \(K(z)\) 個のボールを移す. ただし, \(0 \leqq z \leqq 15\) のとき \(K(z) = z\) , \(16 \leqq z \leqq 30\) のとき \(K(z) = 30-z\) とする.
\(m\) 回の操作の後, 箱 L のボールの個数が \(30\) である確率を \(P _ m(x)\) とする. たとえば \(P _ 1(15) = P _ 2(15) = \dfrac{1}{2}\) となる. 以下の問いに答えよ.
(1) \(m \geqq 2\) のとき, \(x\) に対して \(y\) を選び, \(P _ m(x)\) を \(P _ {m-1}(y)\) で表せ.
(2) \(n\) を自然数とするとき, \(P _ {2n}(10)\) を求めよ.
(3) \(n\) を自然数とするとき, \(P _ {4n}(6)\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
L , R の箱にそれぞれ \(z\) 個, \(30-z\) 個ボールが入っている状態を \(( z , 30-z )\) と表す.
\(1\) 回目のコイン投げによる状態遷移は以下のとおり.
1* \(0 \leqq x \leqq 15\) のとき
- 表が出る： \(( x , 30-x ) \ \rightarrow \ ( 2x , 30-2x )\)
- 裏が出る： \(( x , 30-x ) \ \rightarrow \ ( 0 , 30 )\)
2* \(16 \leqq x \leqq 30\) のとき
- 表が出る： \(( x , 30-x ) \ \rightarrow \ ( 30 , 0 )\)
- 裏が出る： \(( x , 30-x ) \ \rightarrow \ ( 2x-30 , 60-2x )\)
特に, \(K(0) = K(30) = 0\) なので, 一旦 \(( 0 , 30 )\) または \(( 30 , 0 )\) になると,
以後はコイン投げの結果によらず状態は変化しない.
以上の考察から
1* \(0 \leqq x \leqq 15\) のとき \[ P _ m(x) = \dfrac{1}{2} P _ {m-1}(2x) + \dfrac{1}{2} \cdot 0 = \dfrac{1}{2} P _ {m-1}(2x) \]
2* \(16 \leqq x \leqq 30\) のとき \[ P _ m(x) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 + \dfrac{1}{2} P _ {m-1}(2x-30) = \dfrac{1}{2} \left\{ P _ {m-1}(2x-30) +1 \right\} \]
よって \[ \underline{ P _ m(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{2} P _ {m-1}(2x) & ( \ 0 \leqq x \leqq 15 \text{のとき} \ ) \\ \dfrac{1}{2} \left\{ P _ {m-1}(2x-30) +1 \right\} & ( \ 16 \leqq x \leqq 30 \text{のとき} \ ) \end{array} \right. } \]
(2)
(1) の結果を用いれば
\[\begin{align}
P _ {2n}(10) = \dfrac{1}{2} P _ {2n-1}(20) = \dfrac{1}{4} \left\{ P _ {2n-2}(10) +1 \right\} \\
\text{∴} \quad P _ {2n}(10) -\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4} \left\{ P _ {2(n-1)}(10) -\dfrac{1}{3} \right\}
\end{align}\]
したがって, 数列 \(\left\{ P _ {2n}(10) -\dfrac{1}{3} \right\}\) は初項 \(P _ 2(10) -\dfrac{1}{3}\) ,
公比 \(\dfrac{1}{4}\) の等比数列となる.
ここで
\[
P _ 2(10) = \dfrac{1}{2}P _ 1(20) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}
\]
なので
\[\begin{align}
P _ {2n}(10) -\dfrac{1}{3} = \left\{ \dfrac{1}{4} \right\}^{n-1} \left( \dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{3} \right) = -\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{4} \right)^n \\
\text{∴} \quad P _ {2n}(10) = \underline{ \dfrac{1}{3} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{4} \right)^n \right\} }
\end{align}\]
(3)
(2) と同様に, (1) の結果を用いれば
\[\begin{align}
P _ {4n}(6) & = \dfrac{1}{2} P _ {4n-1}(12) = \dfrac{1}{4} P _ {4n-2}(24) = \dfrac{1}{8} \left\{ P _ {4n-3}(18) +1 \right\} \\
& = \dfrac{1}{8} \left[ \dfrac{1}{2} \left\{ P _ {4n-4}(6) +1 \right\} +1 \right] = \dfrac{1}{16} \left\{ P _ {4n-4}(6) -\dfrac{3}{16} \right\} \\
\text{∴} \quad P _ {4n}(6) -\dfrac{1}{5} & = \dfrac{1}{16} \left\{ P _ {4(n-1)}(6) -\dfrac{1}{5} \right\}
\end{align}\]
したがって, 数列 \(\left\{ P _ {4n}(6) -\dfrac{1}{5} \right\}\) は初項 \(P _ 4(6) -\dfrac{1}{5}\) , 公比 \(\dfrac{1}{16}\) の等比数列となる.
ここで
\[
P _ 4(6) = \dfrac{1}{8} \left\{ P _ 1(18) +1 \right\} = \dfrac{1}{8}\left( \dfrac{1}{2} +1 \right) = \dfrac{3}{16}
\]
なので
\[\begin{align}
P _ {4n}(6) -\dfrac{1}{5} = \left\{ \dfrac{1}{16} \right\}^{n-1} \left( \dfrac{3}{16} -\dfrac{1}{5} \right) = -\dfrac{1}{5} \left( \dfrac{1}{16} \right)^n \\
\text{∴} \quad P _ {4n}(6) = \underline{ \dfrac{1}{5} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{16} \right)^n \right\}}
\end{align}\]