O を原点とする座標平面上の曲線 \[ C : \ y = \dfrac{1}{2} x + \sqrt{\dfrac{1}{4} x^2 + 2} \] と , その上の相異なる \(2\) 点 \(\text{P} {} _ 1 ( x _ 1 , y _ 1 )\) , \(\text{P} {} _ 2 ( x _ 2 , y _ 2 )\) を考える.
(1) \(\text{P} {} _ i\) （ \(i = 1 , 2\) ）を通る \(x\) 軸に平行な直線と, 直線 \(y = x\) との交点を, それぞれ \(\text{H} {} _ i\) （ \(i = 1 , 2\) ）とする. このとき, \(\triangle \text{OP} {} _ 1 \text{H} {} _ 1\) と \(\triangle \text{OP} {} _ 2 \text{H} {} _ 2\) の面積は等しいことを示せ.
(2) \(x _ 1 \lt x _ 2\) とする. このとき \(C\) の \(x _ 1 \leqq x \leqq x _ 2\) の範囲にある部分と, 線分 \(\text{P} {} _ 1 \text{O}\) , \(\text{P} {} _ 2 \text{O}\) とで囲まれる図形の面積を, \(y _ 1 , y _ 2\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
\(C\) の式より \[ y -\dfrac{1}{2} x \geqq 0 \quad ... [1] \] このもとで, \(C\) の式を \(x\) についてとくと \[\begin{align} \left( y -\dfrac{1}{2} x \right)^2 & = \dfrac{1}{4} x^2 + 2 \\ y^2 -xy & = 2 \\ \text{∴} \quad x & = y -\dfrac{2}{y} \end{align}\] したがって, [1]にも注意すれば \(C\) は下図のとおり.
一般に, P \(( x , y )\) に対して, H \(( y , y )\) なので \[\begin{align} \triangle \text{OPH} & = \dfrac{1}{2} \left( y -x \right) y \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{y} \cdot y \\ & = 1 \end{align}\] これは \(x\) によらず一定なので \[ \triangle \text{OP} {} _ 1 \text{H} {} _ 1 = \triangle \text{OP} {} _ 2 \text{H} {} _ 2 \]
(2)
(1) の結果より, 求める面積 \(S\) は, \(C\) , \(y=x\) , \(y=y _ 1\) , \(y=y _ 2\) に囲まれた部分の面積に等しいので \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {y _ 1}^{y _ 2} \left| y - \left( y -\dfrac{2}{y} \right) \right| \, dy \\ & = \displaystyle\int _ {y _ 1}^{y _ 2} \left| \dfrac{2}{y} \right| \, dy \\ & = 2 \left[ \log y \right] _ {y _ 1}^{y _ 2} \\ & = \underline{ 2 \log \dfrac{y _ 2}{y _ 1} } \end{align}\]