\(1000\) 以下の素数は \(250\) 個以下であることを示せ.

実数 \(x\) に対し, \(x\) を超えない最大の整数を \([ x ]\) で表す. 数列 \(\{ a_k \}\) を \[ a_k = 2^{\left[ \sqrt{k} \right]} \quad ( k = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定義する. 正の整数 \(n\) に対して \[ b_n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n^2} a_k \] を求めよ.

【 解 答 】

整数 \(m\) について, \(m^2 \leqq k \leqq (m+1)^2 -1 = m^2 +2m\) のとき, \(\left[ \sqrt{k} \right] = m\) .
[1] をみたす整数 \(k\) は \[ ( m^2 +2m ) -m^2 +1 = 2m+1 \ \text{個} \] ある.
したがって, \(b_1 = 2\) であり, \(n \geqq 2\) について \[\begin{align} b_n & = \underline{\textstyle\sum\limits _ {m=1}^{n-1} (2m+1) 2^m} _ {[2]} +2^n \end{align}\] \(S_n = [2]\) とおくと \[\begin{array}{rllrllll} S_n & = & 3 \cdot 2 & +5 \cdot 2^2 & +\cdots & +(2n-1) 2^{n-1} & & ... [3] \\ 2 S_2 & = & & 3 \cdot 2^2 & +\cdots & +(2n-3) 2^{n-1} & +(2n-1) 2^n & ... [4] \end{array}\] \([4] -[3]\) より \[\begin{align} S_n & = (2n-1) 2^n -2 \left( 2^2 +\cdots +2^{n-1} \right) -3 \cdot 2 \\ & = (2n-1) 2^n -8 \cdot \dfrac{2^{n-2} -1}{2-1} -6 \\ & = (2n-1) 2^n -2^{n+1} +2 \\ & = (2n-3) 2^n +2 \end{align}\] よって \[ b_n = \underline{(n-1) 2^{n+1} +2} \] これは, \(n = 1\) のときも成立する.

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a , b\) を実数とし, \(2\) 次方程式 \(x^2 -ax +b = 0\) が実数解 \(\alpha , \beta\) をもつとする. ただし, 重解の場合は \(\alpha = \beta\) とする. \(3\) 辺の長さが \(1 , \alpha , \beta\) である三角形が存在する \(( a , b )\) の範囲を求め図示せよ.

2. (2)　\(3\) 辺の長さが \(1 , \alpha , \beta\) である三角形が存在するとき, \[ \dfrac{\alpha \beta +1}{( \alpha +\beta )^2} \] の値の範囲を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(2\) 次方程式の判別式について \[\begin{align} D & = a^2 -4b \geqq 0 \\ \text{∴} \quad & b \leqq \dfrac{a^2}{4} \quad ... [1] \end{align}\] 解と係数の関係より \[ \alpha +\beta = a \ , \ \alpha \beta = b \quad ... [2] \] \(\alpha \lt \beta\) としても一般性を失わない.
三角形が存在する条件は \[\begin{align} \alpha +\beta \gt 1 \ & \text{かつ} \ \alpha +1 \lt \beta \\ \text{∴} \quad a \gt 1 \ & \text{かつ} \ \beta -\alpha \lt 1 \quad ... [3] \end{align}\] [2] より \[\begin{align} \beta -\alpha & = \sqrt{( \alpha +\beta )^2 -4 \alpha \beta} \\ & = \sqrt{a^2 -4b} \end{align}\] なので \[\begin{align} a^2 -4b & \lt 1 \\ \text{∴} \quad b & \gt \dfrac{a^2}{4} -\dfrac{1}{4} \quad ... [4] \end{align}\] よって, [1] [3] [4] より, 求める \(( a , b )\) の範囲は下図斜線部（実線境界を含み, 点線境界と○は含まない. ）

(2)

\(k = \dfrac{\alpha \beta +1}{( \alpha +\beta )^2}\) とおくと \[\begin{align} k & = \dfrac{b+1}{a^2} \\ \text{∴} \quad b & = k a^2 -1 \quad ... [5] \end{align}\] [5] は, 点 \(( 0 , -1 )\) を頂点にもつ放物線または直線 : \(b = -1\) を表す.
[5] が (1) で求めた領域と共有点を \(k\) の範囲を求めればよい.

1. 1*　\(k \leqq 0\) のとき
   [5] は共有点をもたない.

2. 2*　\(k \gt 0\) のとき
   [5] が, 境界となっている放物線と交わる条件は \[ a \gt \dfrac{1}{4} \quad ... [6] \] 点 \(\left( 1 , \dfrac{1}{4} \right)\) を通るのは \[\begin{align} \dfrac{1}{4} & = k -1 \\ \text{∴} \quad k & = \dfrac{5}{4} \end{align}\] ゆえに, 共有点をもつ条件は \[ \dfrac{1}{4} \lt k \lt \dfrac{5}{4} \]

よって, 求める範囲は \[ \underline{\dfrac{1}{4} \lt \dfrac{\alpha \beta +1}{( \alpha +\beta )^2} \lt \dfrac{5}{4}} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/htb202103/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/htb202104/ https://www.roundown.net/nyushi/htb202104/#respond Tue, 21 Dec 2021 21:35:56 +0000 https://www.roundown.net/nyushi/?p=2052

\(k \gt 0\) とする. 円 \(C\) を \(x^2 +(y-1)^2 = 1\) とし, 放物線 \(S\) を \(y = \dfrac{1}{k} x^2\) とする.

1. (1)　\(C\) と \(S\) が共有点をちょうど \(3\) 個持つときの \(k\) の範囲を求めよ.

2. (2)　\(k\) が (1) の範囲を動くとき, \(C\) と \(S\) の共有点のうちで \(x\) 座標が正の点を P とする. P における \(S\) の接線と \(S\) と \(y\) 軸とによって囲まれる領域の面積の最大値を求めよ.

【 解 答 】

(1)

\(C\) と \(S\) の式から \(y\) を消去して \[\begin{align} x^2 +\left( \dfrac{x^2}{k} -1 \right)^2 & = 0 \\ \dfrac{x^4}{k^2} +\left( -\dfrac{2}{k} +1 \right) x^2 & = 0 \\ \text{∴} \quad x^2 \left\{ x^2 -k (2-k) \right\} & = 0 \end{align}\] これが \(3\) つの異なる実数解をもつ条件を求めればよいので \[\begin{gather} k (2-k) \gt 0 \\ \text{∴} \quad \underline{0 \lt k \lt 2} \end{gather}\]

(2)

P の \(x\) 座標を \(t\) とおけば \[ t = \sqrt{k (2-k)} \] この点における \(S\) の接線の式は \(y' = \dfrac{2x}{k}\) より \[\begin{align} y & = \dfrac{2t}{k} (x-t) +\dfrac{t^2}{k} \\ & = \dfrac{2t}{k} x -\dfrac{t^2}{k} \end{align}\] したがって \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {0}^{t} \left( \dfrac{x^2}{k} -\dfrac{2t}{k} x +\dfrac{t^2}{k} \right) \, dx \\ & = \dfrac{1}{k} \displaystyle\int _ {0}^{t} (x-t)^2 \, dx \\ & = \dfrac{1}{k} \left[ \dfrac{1}{3} (x-t)^3 \right] _ {0}^{t} \\ & = \dfrac{t^3}{3k} \\ & = \dfrac{\sqrt{k^3 (2-k)^3}}{3k} \\ & = \dfrac{1}{3} \sqrt{\underline{k (2-k)^3} _ {[1]}} \end{align}\] [1] が最大となるとき, \(S\) も最大となる.
\(s = 2-k\) とおくと (1) の結果より, \(0 \lt s \lt 2\) .
また [1] について \[ [1] = (2-s) s^3 = -s^4 +2s^3 \] これを \(f(s)\) とおくと \[ f'(s) = -4s^3 +6s^2 = -2s^2 (2s-3) \] したがって, \(f(s)\) の増減は下表の通り. \[ \begin{array}{c|ccccc} s & (0) & \cdots & \dfrac{3}{2} & \cdots & (2) \\ \hline f'(s) & & + & 0 & - & & \\ \hline f(s) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} \] ここで \[ f \left( \dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 = \dfrac{27}{16} \] よって, 求める最大値は \[ \dfrac{1}{3} \sqrt{f \left( \dfrac{3}{2} \right)} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3 \sqrt{3}}{4} = \underline{\dfrac{\sqrt{3}}{4}} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/htb202104/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/htb202105/ https://www.roundown.net/nyushi/htb202105/#respond Tue, 21 Dec 2021 21:37:06 +0000 https://www.roundown.net/nyushi/?p=2053

サイコロを \(3\) 回投げて出た目を順に \(a , b , c\) とするとき, \[ \displaystyle\int _ {a-3}^{a+3} (x-b) (x-c) \, dx = 0 \] となる確率を求めよ.

【 解 答 】

サイコロの目の出方は \(6^3\) 通り. \[\begin{align} \displaystyle\int _ {a-3}^{a+3} (x-b) (x-c) \, dx & = \left[ \dfrac{x^3}{3} -(b+c) \dfrac{x^2}{2} +bc x \right] _ {a-3}^{a+3} \\ & = \dfrac{1}{3} (a+3)^3 -\dfrac{1}{2} (b+c) (a+3)^2 +bc (a+3) \\ & \qquad -\dfrac{1}{3} (a-3)^3 +\dfrac{1}{2} (b+c) (a-3)^2 -bc (a+3) \\ & = 6 ( a^2 +3 ) -6 (b+c) a +6bc = 0 \end{align}\] ゆえに \[\begin{align} a^2 -a (b+c) +bc & = -3 \\ (a-b) (a-c) & = -3 \\ \text{∴} \quad ( a-b \, , \, a-c ) & = ( \pm 1 , \mp 3 ) , ( \pm 3 , \mp 1 ) \quad ( \text{複号同順} ) \end{align}\] したがって \[ a = b \pm 1 = c \mp 3 \ \text{または} \ a = b \pm 3 = c \mp 1 \quad ( \text{複号同順} ) \] これをとくと \[\begin{align} ( a , b , c ) = & ( 2 , 1 , 5 ) , ( 3 , 2 , 6 ) , ( 4 , 5 , 1 ) , ( 5 , 6 , 2 ) , \\ & ( 4 , 1 , 5 ) , ( 5 , 2 , 6 ) , ( 2 , 5 , 1 ) , ( 3 , 6 , 2 ) \end{align}\] で, 条件をみたす組は \(8\) 組.
よって, 求める確率は \[ \dfrac{8}{6^3} = \underline{\dfrac{1}{27}} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/htb202105/feed/ 0