【 解 答 】

(1)

\[\begin{align} f'( \theta ) & = -\sin^n +( 1 +\cos \theta ) (n-1) \sin^{n-2} \theta \cos \theta \\ & = \sin^{n-2} \theta \left\{ \cos^2 \theta -1 +(n-1) \cos \theta ( 1 +\cos \theta ) \right\} \\ & = \sin^{n-2} \theta \left\{ \cos^2 \theta +(n-1) \cos \theta -1 \right\} \\ & = \sin^{n-2} \theta ( n \cos \theta -1 ) ( \cos \theta +1 ) \end{align}\] \(f'( \theta ) = 0\) をとくと \[ \theta = 0 , \ \cos \theta = \dfrac{1}{n} \] \(\cos \theta _ n = \dfrac{1}{n} \ \left( 0 \leqq \theta _ n \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) とおけば, \(f( \theta )\) の増減は下表のとおり. \[ \begin{array}{c|ccccc} \theta & 0 & \cdots & \theta _ n & \cdots & \dfrac{\pi}{2} \\ \hline f'( \theta ) & 0 & + & 0 & - & \\ \hline f( \theta ) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \\ \end{array} \] よって \[\begin{align} M _ n & = f( \theta _ n ) \\ & = \underline{\left( 1 +\dfrac{1}{n} \right) \left( \sqrt{1 -\dfrac{1}{n^2}} \right)^{n-1}} \\ \end{align}\]

(2)

\[\begin{align} \left( M _ n \right)^n & = \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right)^n \left( 1 -\dfrac{1}{n^2} \right)^{\frac{n^2 -n}{2}} \\ & = \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right)^n \left( 1 -\dfrac{1}{n^2} \right)^{-\frac{1}{2} (-n^2)} \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right)^{-\frac{1}{2} n} \left( 1 -\dfrac{1}{n} \right)^{\frac{1}{2} (-n)} \\ & \rightarrow e \cdot e^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{\frac{1}{2}} \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} ) \\ & = e^{\frac{1}{2}} \end{align}\] よって \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( M _ n \right)^n = \underline{e^{\frac{1}{2}}} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/kyr201601/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/kyr201602/ https://www.roundown.net/nyushi/kyr201602/#respond Fri, 24 Feb 2017 16:17:10 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=1386

素数 \(p , q\) を用いて \[ p^q +q^p \] と表される素数をすべて求めよ.

【 解 答 】

\(M = p^q +q^p\) とおく.
\(p , q\) は素数なので, \(2\) 以上であり, 対称性から \(p \geqq q \ ... [1]\) と仮定してもよい.
このとき \[ M \geqq 2 \cdot 2^2 = 8 \quad ... [2] \] ゆえに, \(2\) 以外の素数は奇数だから, \(M\) は奇数である.
したがって, \(p , q\) のいずれかは偶数であり, [1] より \[ q = 2 \] 次に, \(p\) が \(5\) 以上の素数であると仮定する.
\(p\) は \(2 , 3\) のいずれでも割り切れないので, 自然数 \(k\) を用いて \[ p = 6k \pm 1 \] と表せる.
このとき, 法を \(3\) として \[\begin{align} p^2 & \equiv ( \pm 1 ) \equiv 1 , \\ 2^p & \equiv 2 \cdot 64^k , 32 \cdot 64^{k-1} \equiv 2 , 32 \equiv 2 \\ & \quad \text{∴} \quad M \equiv 1+2 \equiv 0 \end{align}\] つまり, \(M = 3\) だが, これは [2] に矛盾する.
したがって \[ p = 3 \] このとき \[ M = 3^2 +2^3 = 17 \] で, 素数である.
よって, 求める素数は \[ \underline{17} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/kyr201602/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/kyr201603/ https://www.roundown.net/nyushi/kyr201603/#respond Fri, 24 Feb 2017 16:19:56 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=1387

四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ.

1. 条件：　頂点 A, B, C からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る.

ただし, 四面体のある頂点の対面とは, その頂点を除く他の \(3\) つの頂点がなす三角形のことである.

【 解 答 】

頂点 A から対面に下ろした垂心の足を H とおくと \[ \angle \text{AHO} = \angle \text{AHB} = \angle \text{AHC} = 90^{\circ} \quad ... [1] \] H は外心なので \[ \text{OH} = \text{BH} = \text{CH} \quad ... [2] \] 辺 OH は共有しているので, [1] [2] と合わせて, \(2\) 辺と挟まれる角がそれぞれ等しいので \[ \triangle \text{AHO} \equiv \triangle \text{AHB} \equiv \triangle \text{AHC} \] ゆえに \[ \text{AO} = \text{AB} = \text{AC} \] 頂点 B, C についても同様にすれば \[ \text{BO} = \text{BA} = \text{BC} , \quad \text{CO} = \text{CA} = \text{CB} \] 以上より, 四面体 OABC は \(6\) つの辺の長さがすべて等しく, 正四面体である.

\(xyz\) 空間において, 平面 \(y=z\) の中で \[ |x| \leqq \dfrac{e^y +e^{-y}}{2} -1 , \quad 0 \leqq y \leqq \log a \] で与えられる図形 \(D\) を考える. ただし \(a\) は \(1\) より大きい定数とする.
　この図形 \(D\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.

【 解 答 】

\(f(t) = \dfrac{e^t +e^{-t}}{2} -1\) とおく.
図形 \(D\) の平面 \(y = t \ \left( 0 \leqq t \leqq \log a \right)\) での切り口は下図のようになる.

これを \(y\) 軸のまわりに回転すると, ドーナツ型の領域を描き, 内側, 外側の円の半径をそれぞれ \(r _ t , R _ t\) とおけば \[\begin{align} {r _ t}^2 & = t^2 , \\ {R _ t}^2 & = t^2 +\left\{ f(t) \right\}^2 \end{align}\] したがって, 領域の面積 \(S(t)\) は \[ S(t) = \pi {R _ t}^2 -\pi {r _ t}^2 = \pi \left\{ f(t) \right\}^2 \] ここで \[\begin{align} \left\{ f(t) \right\}^2 & = \dfrac{\left( e^t +e^{-t} \right)^2}{4} -\left( e^t +e^{-t} \right) +1 \\ & = \dfrac{e^{2t}}{4} +\dfrac{e^{-2t}}{4} -e^t -e^{-t} +\dfrac{3}{2} \end{align}\] なので, 求める体積 \(V\) は \[\begin{align} V & = \pi \displaystyle\int _ {0}^{\log a} \left\{ f(t) \right\}^2 \, dt \\ & = \pi \left[ \dfrac{e^{2t}}{8} -\dfrac{e^{-2t}}{8} -e^t +e^{-t} +\dfrac{3t}{2} \right] _ {0}^{\log a} \\ & = \underline{\left( \dfrac{e^2 -e^{-2}}{8} +e -e^{-1} +\dfrac{3}{2} \log a \right) \pi} \end{align}\] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/kyr201604/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/kyr201605/ https://www.roundown.net/nyushi/kyr201605/#respond Fri, 24 Feb 2017 16:24:13 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=1390

\(xy\) 平面上の \(6\) 個の点 \(( 0, 0 ) , ( 0, 1 ) , ( 1, 0 ) , ( 1, 1 ) , ( 2, 0 ) , ( 2, 1 )\) が図のように長さ \(1\) の線分で結ばれている. 動点 X は, これらの点の上を次の規則に従って \(1\) 秒ごとに移動する.

1. 規則：　動点 X は, その時に位置する点から出る長さ \(1\) の線分によって結ばれる図の点のいずれかに, 等しい確率で移動する.

例えば, X が \(( 2, 0 )\) にいるときは, \(( 1, 0 ) , ( 2, 1 )\) のいずれかに \(\dfrac{1}{2}\) の確率で移動する. また X が \(( 1, 1 )\) にいるときは, \(( 0, 1 ) , ( 1, 0 ) , ( 2, 1 )\) のいずれかに \(\dfrac{1}{3}\) の確率で移動する.
　時刻 \(0\) で動点 X が \(\text{O} = ( 0, 0 )\) から出発するとき, \(n\) 秒後に X の \(x\) 座標が \(0\) である確率を求めよ. ただし \(n\) は \(0\) 以上の整数とする.

【 解 答 】

\(n\) 秒後に X の \(x\) 座標が \(0 , 1 , 2\) である確率をそれぞれ \(a _ n , b _ n , c _ n\) とおく.
条件より \[ a _ 0 = 1 , \ b _ 0 = c _ 0 = 0 \] また \[ a _ n +b _ n +c _ n = 1 \] 点の移動規則から, \(n\) 秒後の X の位置から \(n+1\) 秒後の X の位置への移動の確率を考えると \[\begin{align} a _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{1}{3} b _ n & ... [1] \\ b _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{1}{3} b _ n +\dfrac{1}{2} c _ n & ... [2] \\ c _ {n+1} & = \dfrac{1}{3} b _ n +\dfrac{1}{2} c _ n & ... [3] \end{align}\] \([1] -[3]\) より \[ a _ {n+1} -c _ {n+1} = \dfrac{1}{2} ( a _ n -c _ n ) \] したがって, 数列 \(\{ a _ n -c _ n \}\) は, 初項 \(a _ 0 -c _ 0 = 1\) , 公比 \(\dfrac{1}{2}\) の等比数列で \[ a _ n -c _ n = \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \quad ... [4] \] また, \([2] +[4]\) より \[\begin{align} a _ {n+1} +c _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{2}{3} ( 1 -a _ n -c _ n ) +\dfrac{1}{2} c _ n \\ & = \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{6} ( a _ n -c _ n ) \end{align}\] これを変形すると \[ a _ {n+1} +c _ {n+1} -\dfrac{4}{7} = -\dfrac{1}{6} \left( a _ n +c _ n -\dfrac{4}{7} \right) \] したがって, 数列 \(\left\{ a _ n +c _ n -\dfrac{4}{7} \right\}\) は, 初項 \(a _ 0 +c _ 0 -\dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{7}\) , 公比 \(-\dfrac{1}{6}\) の等比数列で \[\begin{align} a _ n +c _ n -\dfrac{4}{7} & = \dfrac{3}{7} \left( -\dfrac{1}{6} \right)^n \\ \text{∴} \quad a _ n +c _ n & = \dfrac{4}{7} +\dfrac{3}{7} \left( -\dfrac{1}{6} \right)^n \quad ... [5] \end{align}\] よって, \(( [4] +[5] ) \div 2\) より, 求める確率 \(a _ n\) は \[ a _ n = \underline{\dfrac{2}{7} +\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n+1} +\dfrac{3}{14} \left( -\dfrac{1}{6} \right)^n} \] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/kyr201605/feed/ 0 https://www.roundown.net/nyushi/kyr201606/ https://www.roundown.net/nyushi/kyr201606/#respond Fri, 24 Feb 2017 16:26:34 +0000 http://www.roundown.net/nyushi/?p=1391

複素数を係数とする \(2\) 次式 \(f(x) = x^2 +ax +b\) に対し, 次の条件を考える.

1. (イ)　\(f( x^3 )\) は \(f(x)\) で割り切れる.

2. (ロ)　\(f(x)\) の係数 \(a , b\) の少なくとも一方は虚数である.

この \(2\) つの条件 (イ), (ロ) を同時に満たす \(2\) 次式をすべて求めよ.

【 解 答 】

\(2\) 次方程式 \(f(x) = 0\) の解を \(\alpha , \beta\) とおくと \[ f( \alpha ) = 0 , \ f( \beta ) = 0 \quad ... [1] \] また, 解と係数の関係より \[ a = -\alpha -\beta , \ b = \alpha \beta \quad ... [2] \] 条件 (イ) より, \(f( x^3 )\) を \(f(x)\) で割った商を \(P(x)\) とおけば \[ f( x^3 ) = f(x) P(x) \] これに, \(x = \alpha , \beta\) を代入すれば, [1] より \[ \left\{ \begin{array}{l} f( \alpha^3 ) = f( \alpha ) P( \alpha ) = 0 \\ f( \beta^3 ) = f( \beta ) P( \beta ) = 0 \end{array} \right. \] したがって, \(\alpha^3 , \beta^3\) も \(f(x) = 0\) の解である.
\(f(x) = 0\) は高々 \(2\) つの解しかもたないから, \(\alpha^3 , \beta^3\) は \(\alpha , \beta\) のいずれかであり, 以下の \(3\) つの場合が考えられる.

1. 1*　\(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \alpha , \alpha )\)

2. 2*　\(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \alpha , \beta )\)

3. 3*　\(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \beta , \alpha )\)

それぞれの場合について, 考える.

1. 1*　\(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \alpha , \alpha )\) のとき
   \(\alpha^3 = \alpha\) より \[\begin{align} \alpha ( \alpha +1 ) ( \alpha -1 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad \alpha & = 0 , \pm 1 \end{align}\]

   • \(\alpha = 0\) のとき
     \(\beta^3 = 0\) より \(\beta = 0\) となり, [2] より, 条件 (ロ) を満たさず, 不適.

   • \(\alpha = 1\) のとき
     \(\beta^3 = 1\) より \[ \beta = 1 , \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \] [2] を用いて, 条件 (ロ) を満たすのは \[ ( a , b ) = \left( -\dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} , \dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} \right) \quad ( \ \text{複号同順} \ ) \]

   • \(\alpha = -1\) のとき
     \(\beta^3 = -1\) より \[ \beta = -1 , \dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} \] [2] を用いて, 条件 (ロ) を満たすのは \[ ( a , b ) = \left( -\dfrac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2} , -\dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} \right) \quad ( \ \text{複号同順} \ ) \]

2. 2*　\(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \alpha , \beta )\) のとき
   \(\alpha^3 = \alpha\) より \[ \alpha = 0 , \pm 1 \] \(\beta^3 = \beta\) より \[ \beta = 0 , \pm 1 \] いずれの組合せも, [2] より, 条件 (ロ) を満たさず, 不適.

3. 3*　\(( \alpha^3 , \beta^3 ) = ( \beta , \alpha )\) のとき
   \(\alpha = \beta^3 = \alpha^9\) より \[ \alpha = 0 , \pm 1 , \pm i , \dfrac{\pm 1 \pm i}{\sqrt{2}} \]

   • \(\alpha = 0 , \pm 1\) のとき
     \(\beta = 0 , \pm 1\) となり, [2] より, 条件 (ロ) を満たさず, 不適.

   • \(\alpha = \pm i\) のとき
     \[ \beta = \alpha^3 = \mp i \] したがって, [2] より \[ a = 0 , \ b = 1 \] これは, 条件 (ロ) を満たさず, 不適.

   • \(\alpha = \dfrac{1 \pm i}{\sqrt{2}}\) のとき
     \[ \beta = \alpha^3 = \dfrac{-1 \pm i}{\sqrt{2}} \] したがって, [2] より \[ a = \pm \sqrt{2} i , \ \beta = -1 \] これは, 条件 (ロ) を満たす.

   • \(\alpha = \dfrac{-1 \pm i}{\sqrt{2}}\) のとき
     \[ \beta = \alpha^3 = \dfrac{1 \pm i}{\sqrt{2}} \] したがって, [2] より \[ a = \pm \sqrt{2} i , \ \beta = -1 \] これは, 条件 (ロ) を満たす.

以上より, 求める \(f(x)\) は \[\begin{align} f(x) & = \underline{x^2 -\dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} x -\dfrac{1 \mp \sqrt{3} i}{2} , } \\ & \qquad \underline{x^2 +\dfrac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} x -\dfrac{1 \mp \sqrt{3} i}{2} ,} \\ & \qquad \quad \underline{x^2 \pm \sqrt{2} i x -1 \quad ( \ \text{同式内は複号同順} \ )} \end{align}\] ]]> https://www.roundown.net/nyushi/kyr201606/feed/ 0