名古屋大理系2011 - 大学入試数学の資料集

名古屋大理系2011：第1問

roundown — Sat, 26 Nov 2011 09:11:25 +0000

\(-\dfrac{1}{4} \lt s \lt \dfrac{1}{3}\) とする. \(xyz\) 空間内の平面 \(z = 0\) の上に長方形 \[ R _ s = \left\{ ( x , y , 0 ) | 1 \leqq x \leqq 2+4s , 1 \leqq y \leqq 2-3s \right\} \] がある. 長方形 \(R _ s\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体を \(K _ s\) とする.

(1)　立体 \(K _ s\) の体積 \(V(s)\) が最大となるときの \(s\) の値, およびそのときの \(V(s)\) の値を求めよ.
(2)　\(s\) を (1) で求めた値とする. このときの立体 \(K _ s\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体 \(L\) の体積を求めよ.

【解答】

(1)

\(-\dfrac{1}{4} \lt s \lt \dfrac{1}{3} \quad ... [1]\) のとき, \(R _ s\) は下図斜線部のようになる.

\[\begin{align} V(s) & = \pi \left\{ (2-3s)^2 -1^2 \right\} (1+4s) \\ & = 3 \pi ( 3s^2-4s+1 )( 4s+1 ) \\ & = 3 \pi ( \underline{12s^3-13s+1} ) \end{align}\] 下線部を \(f(s)\) とおくと \[ f'(s) = 36s^2-26s = 2s( 18s-13 ) \] [1] の範囲で \(f'(s)=0\) をとくと \[ s=0 \] したがって, \(f(s)\) の増減表は下のようになり, \[ \begin{array}{c|ccccc} s & -\dfrac{1}{4} & \cdots & 0 & \cdots & \dfrac{1}{3} \\ \hline f'(s) & & + & 0 & 1 & \\ \hline f(s) & & \searrow & \text{最大} & \nearrow & \end{array} \] 最大値は \[ f(0) = 1 \] よって \(V(s)\) は, \(s = \underline{0}\) のとき最大となり, \(V(0) =\underline{3 \pi}\) .

(2)

\(K _ 0\) は \(xz\) 平面について対称なので, \(y \gt 0\) の部分について考える.
\(K _ 0\) を \(x\) 軸方向から見ると右図のようになる.

\(K _ 0\) の平面 \(y = t \ ( 0 \leqq t \leqq 2 )\) による断面図から, \(L\) の断面積を求めていく.

1*　\(1 \leqq t \leqq 2\) のとき
\(K _ 0\) の断面は下図のようになる. \[\begin{align} \text{OA} & = \sqrt{(4-t^2)+2^2} = \sqrt{8-t^2} , \\ \text{OB} & = 1 \end{align}\] したがって, \(L\) の断面積 \(T(t)\) は \[ T(t)= ( \text{OA}^2-\text{OB}^2 ) \pi = (7-t^2) \pi \]
2*　\(0 \leqq t \leqq 1\) のとき
\(K _ 0\) の断面は下図のようになる. \[\begin{align} \text{OC} & = \sqrt{(4-t^2)+2^2} = \sqrt{8-t^2} , \\ \text{OD} & = \sqrt{(1-t^2)+1^2} = \sqrt{2-t^2} \end{align}\] したがって, \(L\) の断面積 \(T(t)\) は \[ T(t) = ( \text{OA}^2-\text{OB}^2 ) \pi = 6 \pi \]

1* 2* より求める体積 \(W\) は \[\begin{align} W & = 2 \left\{ 6 \pi \cdot 1 +\displaystyle\int _ 1^2 (7-t^2) \pi \, dt \right\} \\ & = 12 \pi +14 \pi - 2\pi \left[ \dfrac{t^3}{3} \right] _ 1^2 \\ & = \left( 26-\dfrac{14}{3} \right) \pi =\underline{\dfrac{64 \pi}{3}} \end{align}\]

名古屋大理系2011：第2問

roundown — Sat, 26 Nov 2011 09:17:50 +0000

\(A _ 0 = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) とする. 整数 \(n \geqq 1\) に対して, 次の試行により行列 \(A _ {n-1}\) から行列 \(A _ n\) を定める.

「　数字の組 \(( 1 , 1 )\) , \(( 1 , 2 )\) , \(( 2 , 1 )\) , \(( 2 , 2 )\) を \(1\) つずつ書いた \(4\) 枚の札が入っている袋から \(1\) 枚を取り出し, その札に書かれている数字の組が \(( i , j )\) のとき, \(A _ {n-1}\) の \(( i , j )\) 成分に \(1\) を加えた行列を \(A _ n\) とする.　」

この試行を \(n\) 回（ \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) ）くり返した後に, \(A _ 0 , A _ 1 , \cdots , A _ {n-1}\) が逆行列をもたず \(A _ n\) は逆行列をもつ確率を \(p _ n\) とする.

(1)　\(p _ 2\) , \(p _ 3\) を求めよ.
(2)　\((n-1)\) 回（ \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) ）の試行をくり返した後に, \(A _ {n-1}\) の第 \(1\) 行の成分がいずれも正で第 \(2\) 行の成分はいずれも \(0\) である確率 \(p _ {n-1}\) を求めよ.
(3)　\(p _ n\) （ \(n = 2 , 3 , 4 , \cdots\) ）を求めよ.

【解答】

(1)

\(n\) 回目に初めて \(|A _ n| \neq 0\) となる場合を考えればよい.
行, 列のいずれを入替えても, \(|A _ n|\) の値は変わらないので, \(1\) 回目には \(( 1 , 1 )\) が出ると考えても, 一般性を失わない.
\(p _ 2\) について, \(2\) 回目に \(( 2 , 2 )\) が出ればよいので \[ p _ 2 = \underline{\dfrac{1}{4}} \] \(p _ 3\) について, \(3\) 回目に

\(A _ 2 = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) から \(( 2 , 2 )\)
\(A _ 2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) から \(( 2 , 1 )\) または \(( 2 , 2 )\)
\(A _ 2 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\) から \(( 1 , 2 )\) または \(( 2 , 2 )\)

が出ればよいので \[ p _ 3 = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} =\underline{\dfrac{5}{16}} \]

(2)

\(4\) 枚のうち, \(( 1 , 1 )\) , \(( 1 , 2 )\) の \(2\) 枚のみが出ればよい.
ただし, どちらか一方のみが出る場合は除くので, \[ q _ {n-1} = \underline{\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} -2\left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-1}} \]

(3)

(1) と同様に, \(1\) 回目に \(( 1 , 1 )\) が出たとして考える.
\(|A _ {n-1}| =0\) となる行列は, 以下の \(3\) パターンがあり, それぞれに対して \(n\) 回目に

\(A _ {n-1} =\left( \begin{array}{cc} n-1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\) から \(( 2 , 2 )\)
\(A _ {n-1} =\left( \begin{array}{cc} n-1-k & k \\ 0 & 0 \end{array} \right) \quad ( 1 \leqq k \leqq n-2 )\) から \(( 2 , 1 )\) または \(( 2 , 2 )\)
\(A _ {n-1} =\left( \begin{array}{cc} n-1-k & 0 \\ k & 0 \end{array} \right) \quad ( 1 \leqq k \leqq n-2 )\) から \(( 1 , 2 )\) または \(( 2 , 2 )\)

が出ればよい.
よって \[\begin{align} p _ n & = \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-2} \cdot \dfrac{1}{4} +2 \left\{ \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-2} -\left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-2} \right\} \cdot \dfrac{1}{2} \\ & = \underline{\left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-2} -\dfrac{3}{4} \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-2}} \end{align}\]

名古屋大理系2011：第3問

roundown — Sat, 26 Nov 2011 09:20:25 +0000

\(xy\) 平面上に \(3\) 点 O \(( 0 , 0 )\) , A \(( 1 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 )\) がある.

(1)　\(a \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} = 1 : a\) を満たす点Pの軌跡を求めよ.
(2)　\(a \gt 0 , \ b \gt 0\) とする. \(\text{OP} : \text{AP} : \text{BP} = 1 : a : b\) を満たす点 P が存在するための \(a , b\) に対する条件を求め, \(ab\) 平面上に図示せよ.

【解答】

(1)

P \(( X , Y )\) とおけば \[ \text{OP} = \sqrt{X^2+Y^2} , \ \text{AP} = \sqrt{(X-1)^2+Y^2} \] \(\text{OP} : \text{AP} = 1 : a\) より, \(\text{AP}^2 = a^2 \text{OP}^2\) なので \[\begin{gather} (X-1)^2 +Y^2 = a^2 \left( X^2+Y^2 \right) \\ (1-a^2)X^2 -2X +(1-a^2)Y^2+1 = 0 \end{gather}\]

1*　\(a = 1\) のとき \[\begin{align} -2X+1& = 0 \\ \text{∴} \quad X & = \dfrac{1}{2} \end{align}\]
2*　\(a \neq 1\) のとき \[\begin{align} X^2 -\dfrac{2X}{1-a^2} +Y^2 +\dfrac{1}{1-a^2} & = 0 \\ \text{∴} \quad \left( X -\dfrac{1}{1-a^2} \right)^2 +Y^2 & = \dfrac{a^2}{1-a^2} \end{align}\]

1* 2* より, 点 P の軌跡は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \text{直線} : \ x = \dfrac{1}{2} \quad ... [1] & ( \ a = 1 \text{のとき} ) \\ \text{円} : \ \left( x -\dfrac{1}{1-a^2} \right)^2 +y^2 = \dfrac{a^2}{1-a^2} \quad ... [2] & ( \ a \neq 1 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \]

(2)

\(\text{OQ} : \text{BQ} = 1 : b\) を満たす点 Q の軌跡は, (1) と同様に考えれば \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \text{直線} : \ y = \dfrac{1}{2} \quad ... [3] & ( \ b = 1 \text{のとき} ) \\ \text{円} : \ x^2 +\left( y -\dfrac{1}{1-b^2} \right)^2 = \dfrac{b^2}{1-b^2} \quad ... [4] & ( \ b \neq 1 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \] P と Q の軌跡が, 共有点を持つための \(a , b\) の条件を求めればよい.

1*　\(a = b = 1\) のとき
P , Q の軌跡, [1] と [3] は, 共有点 \(\left( \dfrac{1}{2} , \dfrac{1}{2} \right)\) をもつ.
2*　\(a \neq 1 , \ b = 1\) のとき
P , Q の軌跡, [2] と [3] が共有点をもつ条件は \[ ( \text{円 [2] の中心と直線 [3] の距離} ) \leqq ( \text{円 [2] の半径} ) \] なので \[\begin{align} \dfrac{1}{2} & \leqq \dfrac{a}{\left| 1-a^2 \right|} \\ \left| 1-a^2 \right| & \leqq 2a \\ -2a \leqq 1-a^2 & \leqq 2a \\ \text{「} a^2-2a-1 \leqq 0 & \text{」かつ「} a^2+2a-1 \geqq 0 \text{」} \\ \text{「} 1 -\sqrt{2} \leqq a \leqq 1+\sqrt{2} & \text{」かつ「} a \leqq -1-\sqrt{2} , -1+\sqrt{2} \leqq a \text{」} \\ \text{∴} \quad \sqrt{2}-1 & \leqq a \leqq \sqrt{2}+1 \end{align}\]
3*　\(a = 1 , \ b \neq 1\) のとき
P , Q の軌跡, [1] と [4] が共有点をもつ条件は, 2* のときと同様にして \[ \sqrt{2}-1 \leqq b \leqq \sqrt{2}+1 \]
4*　\(a \neq 1 , \ b \neq 1\) のとき
P , Q の軌跡, [2] と [4] が共有点をもつ条件は \[ ( \text{円 [2] [4] の半径の差} ) \leqq ( \text{円 [2] [4] の中心間の距離} ) \leqq ( \text{円 [2] [4] の半径の和} ) \] なので, 各辺を平方して \[\begin{align} \left( \dfrac{a}{\left| 1-a^2 \right|} -\dfrac{b}{\left| 1-b^2 \right|} \right)^2 & \leqq \dfrac{1}{(1-a^2)^2} +\dfrac{1}{(1-b^2)^2} \leqq \left( \dfrac{a}{\left| 1-a^2 \right|} +\dfrac{b}{\left| 1-b^2 \right|} \right)^2 \\ -\dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} & \leqq \dfrac{1}{(1-a^2)^2} +\dfrac{1}{(1-b^2)^2} \\ & \qquad -\left\{ \dfrac{a^2}{(1-a^2)^2} +\dfrac{b^2}{(1-b^2)^2} \right\} \leqq \dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} \\ -\dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} & \leqq \dfrac{1}{1-a^2} +\dfrac{1}{1-b^2} \leqq \dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} \end{align}\] したがって \[ \left| \dfrac{1}{1-a^2} +\dfrac{1}{1-b^2} \right| \leqq \dfrac{2ab}{\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right|} \] \(\left| 1-a^2 \right| \left| 1-b^2 \right| \gt 0\) なので, 各辺の分母を払って \[\begin{align} \left| (1-b^2) +(1-a^2) \right| & \leqq 2ab \\ -2ab \leqq a^2+b^2-2 & \leqq 2ab \\ \text{「} (a+b)^2-2 \geqq 0 \text{」かつ「} & (a-b)^2-2 \leqq 0 \text{」} \\ \text{「} a+b-\sqrt{2} \geqq 0 \text{」かつ「} & (a-b+\sqrt{2})(a-b-\sqrt{2}) \leqq 0 \text{」} \quad ( \ \text{∵} \ a+b+\sqrt{2} \gt 0 ) \\ \text{∴} \quad a+b \geqq \sqrt{2} , \ a-\sqrt{2} & \leqq b \leqq a+\sqrt{2} \end{align}\]

1* ～ 4* より, \(a , b\) の条件は下図斜線部（境界部は含み, 白点は含まない）.

名古屋大理系2011：第4問

roundown — Sat, 26 Nov 2011 09:23:11 +0000

\(a , b\) は \(a \geqq b \gt 0\) を満たす整数とし, \(x\) と \(y\) の \(2\) 次方程式 \(x^2+ax+b = 0\) , \(y^2+by+a = 0\) がそれぞれ整数解をもつとする.

(1)　\(a = b\) とするとき, 条件を満たす整数 \(a\) をすべて求めよ.
(2)　\(a \gt b\) とするとき, 条件を満たす整数の組 \(( a , b )\) をすべて求めよ.

【解答】

(1)

\(a = b\) のとき \[ x^2+ax+a = 0 \] この方程式の \(2\) つの整数解 \(\alpha , \beta\) とおくと, 解と係数の関係より \[ \alpha +\beta =-a , \ \alpha \beta =a \quad ... [1] \] また, \(a \gt 0\) なので, \(\alpha \leqq \beta \leqq -1 \quad ... [2]\) とおいてよい.
[1] から \(a\) を消去すると \[\begin{align} \alpha +\beta +\alpha \beta & = 0 \\ ( \alpha +1 )( \beta +1 ) & = 1 \\ \text{∴} \quad ( \alpha , \beta ) & = ( -2 , -2 ) \quad ( \ \text{∵} \ [2] \ ) \end{align}\] よって \[ a = (-2)(-2) = \underline{4} \]

(2)

\(x^2+ax+b = 0\) の \(2\) つの整数解を \(\alpha , \beta\) , \(y^2+by+a = 0\) の \(2\) つの整数解を \(\gamma , \delta\) とおく.
解と係数の関係より \[ \left\{ \begin{array}{ll} \alpha +\beta =-a , & \alpha \beta =b \\ \gamma +\delta =-b , & \gamma \delta =a \end{array} \right. \quad ... [3] \] また, \(a \gt b \gt 0\) なので, \(\alpha \leqq \beta \leqq -1 , \ \gamma \leqq \delta \leqq -1\) ...[4] としてよい.
[3] から \(a , b\) を消去すると \[ \left\{ \begin{array}{l} \alpha +\beta +\gamma \delta =0 \\ \gamma +\delta +\alpha \beta=0 \end{array} \right. \] さらに辺々を加えると \[\begin{align} \alpha \beta +\alpha +\beta +\gamma \delta +\gamma +\delta & = 0 \\ \text{∴} \quad ( \alpha +1 )( \beta +1 ) +( \gamma +1 )( \delta +1 ) & = 2 \quad ... [5] \end{align}\] 辺々を差引くと \[\begin{align} \alpha \beta -\alpha -\beta -\gamma \delta +\gamma +\delta & = 0 \\ \text{∴} \quad ( \alpha -1 )( \beta -1 ) = ( \gamma -1 )( \delta -1 ) & \quad ... [6] \end{align}\] [5] について, [3] [4] より, \[ ( \alpha +1 )( \beta +1 ) =a-b+1 \geqq 2 , \ ( \gamma +1 )( \delta +1 ) \geqq 0 \] なので \[\begin{align} & \left\{ \begin{array}{l} ( \alpha +1 )( \beta +1 ) =2 \\ ( \gamma +1 )( \delta +1 )=0 \end{array} \right. \\ \text{∴} & \quad \alpha = -3 , \ \beta = -2 , \ \delta = -1 \quad ( \ \text{∵} \ [4] \ ) \end{align}\] [6] に代入すれば \[\begin{align} (-4)(-3) & = ( \gamma -1)(-2) \\ \text{∴} \quad \gamma & = -5 \end{align}\] 以上より \[ ( a , b ) = \left( (-3)(-2) , (-5)(-1) \right) = \underline{( 6 , 5 )} \]

名古屋大理系2011 - 大学入試数学の資料集

名古屋大理系2011：第1問

【 解 答 】

名古屋大理系2011：第2問

【 解 答 】

名古屋大理系2011：第3問

【 解 答 】

名古屋大理系2011：第4問

【 解 答 】

【解答】

【解答】

【解答】

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