名古屋大理系2021 - 大学入試数学の資料集

名古屋大理系2021：第1問

roundown — Tue, 23 Nov 2021 00:17:11 +0000

\(a\) を正の実数とする. 放物線 \(y = x^2\) を \(C_1\) , 放物線 \(y = -x^2 +4ax -4 a^2 +4 a^4\) を \(C_2\) とする. 以下の問に答えよ.

(1)　点 \(( t , t^2 )\) における \(C_1\) の接線の方程式を求めよ.
(2)　\(C_1\) と \(C_2\) が異なる \(2\) つの共通接線 \(\ell , \ell '\) を持つような \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(C_1\) と \(C_2\) の共通接線とは, \(C_1\) と \(C_2\) の両方に接する直線のことである.

以下, \(a\) は (2) で求めた範囲にあるとし, \(\ell , \ell '\) を \(C_1\) と \(C_2\) の異なる \(2\) つの共通接線とする.

(3)　\(\ell , \ell '\) の交点の座標を求めよ.
(4)　\(C_1\) と \(\ell , \ell '\) で囲まれた領域を \(D_1\) とし, 不等式 \(x \leqq a\) の表す領域を \(D_2\) とする. \(D_1\) と \(D_2\) の共通部分の面積 \(S(a)\) を求めよ.
(5)　\(S(a)\) を (4) の通りとする. \(a\) が (2) で求めた範囲を動くとき, \(S(a)\) の最大値を求めよ.

【解答】

(1)

\(C_1\) の式より, \(y' = 2x\) なので, 接線の式は \[\begin{align} y & = 2t (x-t) + t^2 \\ & = 2tx -t^2 \end{align}\] すなわち \[ \underline{y = 2tx -t^2} \]

(2)

(1) で求めた式と \(C_2\) の式から \(y\) を消去して \[\begin{gather} 2tx -t^2 = -x^2 +4ax -4a^2 +4a^4 \\ \text{∴} \quad x^2 +2( t -2a ) x -t^2 -4a^2 +4a^4 = 0 \end{gather}\] これが重解をもつので, 判別式 \(D_1\) について \[\begin{align} \dfrac{D_1}{4} & = ( t -2a )^2 +t^2 +4a^2 -4a^4 \\ & = 2t^2 -4at +4a^4 = 0\\ \text{∴} \quad & t^2 -2a t +2a^4 = 0 \quad ... [1] \end{align}\] これが異なる \(2\) 実数解をもつので, 判別式 \(D_2\) について \[\begin{align} \dfrac{D_2}{4} = a^2 -2a^4 & \gt 0 \\ 1 -2a^2 & \gt 0 \quad ( \ \text{∵} \ a^2 \gt 0 \ ) \\ \text{∴} \quad & \underline{0 \lt a \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \end{align}\]

(3)

[1] の \(2\) 解を \(p , q \ (p\lt q )\) とおくと \[\begin{align} \ell \ : \ y & = 2px -p^2 \\ \ell' \ : \ y & = 2qx -q^2 \end{align}\] これをとくと \[\begin{align} 2px -p^2 & = 2qx -q^2 \\ 2( p-q ) x & = p^2 -q^2 \\ \text{∴} \quad x & = \dfrac{p+q}{2} \quad ( \ \text{∵} \ p \neq q \ ) \end{align}\] ゆえに \[ y = 2p \cdot \dfrac{p+q}{2} -p^2 = pq \] 解と係数の関係から, [1] より \[ p+q = 2a \ , \ pq = 2a^4 \quad ... [2] \] よって, 交点の座標は \[ \underline{( a , 2a^4 )} \]

(4)

[2] より \[\begin{align} (q-p)^2 & = (p+q)^2 -4pq \\ & = 4a^2 -8a^2 = 4 a^2 ( 1 -2a^2 ) \end{align}\] よって \[\begin{align} S(a) & = \displaystyle\int _ {p}^{\frac{p+q}{2}} ( x^2 -2p x +p^2 ) \, dx \\ & = \left[ \dfrac{(x-p)^3}{3} \right] _ {p}^{\frac{p+q}{2}} = \dfrac{(q-p)^3}{24} \\ & = \dfrac{8 a^3 ( 1 -2a^2 )^{\frac{3}{2}}}{24} \\ & = \underline{\dfrac{1}{3} a^3 ( 1 -2a^2 )^{\frac{3}{2}}} \\ \end{align}\]

(5)

\(u = a^2\) とおくと, \(0 \lt u \lt \dfrac{1}{2}\) .
\(f(u) = u ( 1 -2u )\) とおけば \[ f(u) = -2 \left( u -\dfrac{1}{4} \right)^2 +\dfrac{1}{8} \] よって, \(u = \dfrac{1}{4}\) すなわち \(a = \dfrac{1}{2}\) のとき, \(S(a)\) は最大となり, その値は \[ \dfrac{1}{3} \left\{ f \left( \dfrac{1}{2} \right) \right\}^{\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{8} \right)^{\frac{3}{2}} = \underline{\dfrac{\sqrt{2}}{96}} \]

名古屋大理系2021：第2問

roundown — Tue, 23 Nov 2021 00:19:39 +0000

\(4\) つの実数を \(\alpha = \log_2 3\) , \(\beta = \log _3 5\) , \(\gamma = \log _5 2\) , \(\delta = \dfrac{3}{2}\) とおく. 以下の問に答えよ.

(1)　\(\alpha \beta \gamma = 1\) を示せ.
(2)　\(\alpha , \beta , \gamma , \delta\) を小さい順に並べよ.
(3)　\(p = \alpha +\beta +\gamma\) , \(q = \dfrac{1}{\alpha} +\dfrac{1}{\beta} +\dfrac{1}{\gamma}\) とし, \(f(x) = x^3 +p x^2 +q x +1\) とする. このとき \(f \left( -\dfrac{1}{2} \right)\) , \(f( -1 )\) および \(f \left( -\dfrac{3}{2} \right)\) の正負を判定せよ.

【解答】

(1)

\[ \alpha \beta \gamma = \dfrac{\log 3}{\log 2} \cdot \dfrac{\log 5}{\log 3} \cdot \dfrac{\log 2}{\log 5} = 1 \]

(2)

\[\begin{align} \alpha -\delta & = \dfrac{\log 3}{\log 2} -\dfrac{3}{2} = \dfrac{\log 9 -\log 8}{2 \log 2} \gt 0 \ , \\ \beta -\delta & = \dfrac{\log 5}{\log 3} -\dfrac{3}{2} = \dfrac{\log 25 -\log 27}{2 \log 2} \lt 0 \ , \\ \beta & = \dfrac{\log 5}{\log 3} \gt 1 \ , \quad \gamma = \dfrac{\log 2}{\log 5} \lt 1 \end{align}\] 以上より \[ \underline{\gamma \lt \beta \lt \delta \lt \alpha} \]

(3)

(1) の結果を用いれば \[\begin{align} f(x) & = x^3 +( \alpha +\beta +\gamma ) x^2 +( \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ) x +\alpha \beta \gamma \\ & = ( x +\alpha ) ( x +\beta ) ( x +\gamma ) \end{align}\] また \[ \gamma -\dfrac{1}{2}= \dfrac{\log 4 -\log 5}{2\log 5} \lt 0 \] (1) の結果とあわせて \[ 0 \lt \gamma \lt \dfrac{1}{2} \ , \ 1 \lt \beta \lt \dfrac{3}{2} \lt \alpha \] ゆえに \[ -\alpha \lt -\dfrac{3}{2} \lt -\beta \lt -1 \ , \ -\dfrac{1}{2} \lt -\gamma \lt 0 \] したがって, \(y = f(x)\) のグラフは下図のようになる.

よって \[ \underline{f \left( -\dfrac{1}{2} \right) \lt 0 \ , \ f( -1 ) \lt 0 \ , \ f \left( -\dfrac{3}{2} \right) \gt 0} \]

名古屋大理系2021：第3問

roundown — Tue, 23 Nov 2021 00:24:07 +0000

\(1\) から \(12\) までの数字が下図のように並べて書かれている. 以下のルール (a) , (b) と (終了条件) を用いたゲームを行う, ゲームを開始すると最初に (a) を行い, (終了条件) が満たされたならゲームを終了する. そうでなければ (終了条件) が満たされるまで (b) の操作を繰り返す. ただし, (a) と (b) における数字を選ぶ操作はすべて独立な試行とする.

(a)　\(1\) から \(12\) までの数字のどれか \(1\) つを等しい確率で選び, 下の図において選んだ数字を丸で囲み, その上に石を置く.
(b)　石が置かれた位置の水平右側または垂直下側の位置にある数字のどれか \(1\) つを等しい確率で選び, その数字を丸で囲み, そこに石を移して置く. 例えば, 石が \(6\) の位置に置かれているときは, その水平右側または垂直下側の位置にある数字 \(7, 8, 9, 10, 12\) のどれか \(1\) つの数字を等しい確率で選び, その数字を丸で囲み, そこに石を移して置く.
(終了条件)　\(5, 9, 11, 12\) の数字のどれか \(1\) つが丸で囲まれ石が置かれている.

ゲームの終了時に数字 \(j\) が丸で囲まれている確率を \(p_j\) とする. 以下の問に答えよ.

(1)　確率 \(p_2\) を求めよ.
(2)　確率 \(p_5\) と \(p_{11}\) を求めよ.
(3)　確率 \(p_5 , p_9 , p_{11} , p_{12}\) のうち最も大きいものの値を求めよ.

【解答】

(1)

\(2\) が丸で囲まれるのは, 以下のいずれかのとき.

操作 (a) で \(2\) が丸で囲まれる.
\(1\) に石がある状態から, 操作 (b) で \(2\) が選ばれる.

\(p_1 = \dfrac{1}{12}\) なので, 求める確率は \[ p_2 = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{7} p_1 = \underline{\dfrac{2}{21}} \]

(2)

(1) と同様に考えて, \(k\) が丸で囲まれるのは, 以下のいずれかのとき.

操作 (a) で \(k\) が丸で囲まれる.
\(k\) より左または上の数字に石がある状態から, 操作 (b) で \(k\) が選ばれる.

これを用いると \[\begin{align} p_3 & = \underline{\dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{7} p_1}+\dfrac{1}{5} p_2 \\ & = \dfrac{6}{5} \cdot \dfrac{2}{21} = \dfrac{4}{35} \ , \\ \end{align}\] ここで, 下線部が \(1\) つ左または上の数字が丸で囲まれる確率に等しいことを用いれば \[\begin{align} p_4 & = p_3 +\dfrac{1}{3} p_3 = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{4}{35} = \dfrac{16}{105} \ , \\ p_5 & = p_4 +\dfrac{1}{2} p_4 = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{16}{105} = \underline{\dfrac{8}{35}} \end{align}\] 数字の配置より \[ p_6 = p_2 = \dfrac{2}{21} \ , \ p _ {10} = p_3 = \dfrac{4}{35} \] これらを用いて \[\begin{align} p_7 & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{5} p_2 +\dfrac{1}{5} p_6 \\ & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{21} \\ & = \dfrac{35 +16}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{17}{140} \ , \\ p _ {11} & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{3} p_7 +\dfrac{1}{2} p _ {10} \\ & = \dfrac{1}{12} +\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{17}{140} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{35} \\ & = \dfrac{35 +17 +24}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7} = \underline{\dfrac{1}{5}} \end{align}\]

(3)

\[ p _ {12} = p _ {10} +\dfrac{1}{2} p _ {10} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{35} = \dfrac{6}{35} \] \(5 , 9 , 11 , 12\) のいずれかが丸で囲まれてゲームが終了するので \[\begin{align} p_9 & = 1 -\left( p_5 +p _ {11} +p _ {12} \right) \\ & = 1 -\left( \dfrac{8}{35} +\dfrac{1}{5} +\dfrac{6}{35} \right) = \dfrac{2}{5} \end{align}\] よって, 求める最大値は \[ p_9 = \underline{\dfrac{2}{5}} \]

名古屋大理系2021：第4問

roundown — Tue, 23 Nov 2021 00:25:11 +0000

\(0 \leqq a \lt 1\) を満たす実数 \(a\) に対し, 数列 \(\{ a_n \}\) を \[ a_1 = a , \qquad a _ {n+1} = 3 \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] -2 a_n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] という漸化式で定める. ただし \([x]\) は \(x\) 以下の最大の整数を表す. 以下の問に答えよ.

(1)　\(a\) が \(0 \leqq a \lt 1\) の範囲を動くとき, 点 \(( x , y ) = ( a_1 , a_2 )\) の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.
(2)　\(a_n -[ a_n ] \geqq \dfrac{1}{2}\) ならば, \(a_n \lt a _ {n+1}\) であることを示せ.
(3)　\(a_n \gt a _ {n+1}\) ならば, \(a _ {n+1} = 3 [ a_n ] -2 a_n\) かつ \([ a _ {n+1} ] = [ a_n ] -1\) であることを示せ.
(4)　ある \(2\) 以上の自然数 \(k\) に対して, \(a_1 \gt a_2 \gt \cdots \gt a_k\) が成り立つとする. このとき \(a_k\) を \(a\) の式で表せ.

【解答】

(1)

条件より \[\begin{align} y & = 3 \left[ x +\dfrac{1}{2} \right] -2x \\ & = \left\{ \begin{array}{ll} -2x & \left( \ 0 \leqq a \lt \dfrac{1}{2} \text{のとき} \ \right) \\ -2x +3 & \left( \ \dfrac{1}{2} \leqq a \lt 1 \text{のとき} \ \right) \end{array} \right. \end{align}\]

よって, 求める軌跡は下図.

(2)

一般に \([ a_n ] \leqq a_n \lt [ a_n ] +1\) なので, 条件とあわせて \[ [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \leqq a_n \lt [ a_n ] +1 \] これを用いて \[\begin{align} a _ {n+1} & = 3 \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] -2 a_n \\ & \geqq 3 \left[ [ a_n ] +1 \right] -2 a_n \\ & = 3 \left( [ a_n ] +1 \right) -2 a_n \\ & \gt 3 a_n -2 a_n = a_n \end{align}\] すなわち \[ a_n \lt a _ {n+1} \]

(3)

(2) の結果の対偶をとれば \[ a _ n \geqq a _ {n+1} \ \Rightarrow \ a_n -[ a_n ] \lt \dfrac{1}{2} \] ゆえに, 条件より \[ [ a_n ] \leqq a_n \lt [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \] このうち, \(a_ n = [ a_n ]\) のとき, \(a_n\) は整数で \(\left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] = a_n\) となり \[ a _ {n+1} = 3 a_n -2 a_n = a_n \] これは, 条件をみたさず不適.
したがって \[\begin{align} [ a_n ] & \lt a_n \lt [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \quad ... [1] \\ \text{∴} \quad [ a_n ] +\dfrac{1}{2} & \lt a_n +\dfrac{1}{2} \lt [ a_n ] +1 \end{align}\] なので \[ \left[ a_n +\dfrac{1}{2} \right] = [ a_n ] \] したがって \[ a _ {n+1} = \underline{3 [ a_n ] -2 a_n} \quad ... [2] \] [1] を用いると \[\begin{align} a _ {n+1} & \gt 3 [ a_n ] -2 \left( [ a_n ] +\dfrac{1}{2} \right) = [ a_n ] -1 \ , \\ a _ {n+1} & \lt 3 [ a_n ] -2 [ a_n ] = [ a_n ] \end{align}\] すなわち \[ [ a_n ] -1 \lt a _ {n+1} \lt [ a_n ] \] よって \[ [ a _ {n+1} ] = \underline{[ a_n ] -1} \quad ... [3] \]

(4)

\(n = 1 , 2 , \cdots , k-1\) について, \(a_n \lt a _ {n+1}\) なので, [3] の結果より \[ [ a _ {n+1} ] = [ a_n ] -1 \quad ( n = 1 , 2 , \cdots , k-1 ) \] 数列 \(\{ [ a_n ] \}\) は, 初項 \([ a_1 ] = [ a ] = 0\) , 公差 \(-1\) の等差数列なので \[ [ a_n ] = -n+1 \] [2] に代入して \[\begin{align} a _ {n+1} & = -3n +3 -2 a_n \\ \text{∴} \quad a _ {n+1} +(n+1) -\dfrac{4}{3} & = -2 \left( a_n +n -\dfrac{4}{3} \right) \end{align}\] 数列 \(\left\{ a_n +n -\dfrac{4}{3} \right\}\) は, 初項 \(a_1 +1 -\dfrac{4}{3} = a -\dfrac{1}{3}\) , 公比 \(-2\) の等比数列なので \[\begin{align} a_n +n -\dfrac{4}{3} & = \left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{n-1} \\ \text{∴} \quad a_n & = \left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{n-1} -n +\dfrac{4}{3} \end{align}\] よって \[ a_k = \underline{\left( a -\dfrac{1}{3} \right) (-2)^{k-1} -k +\dfrac{4}{3}} \]

名古屋大理系2021 - 大学入試数学の資料集

名古屋大理系2021：第1問

【 解 答 】

名古屋大理系2021：第2問

【 解 答 】

名古屋大理系2021：第3問

【 解 答 】

名古屋大理系2021：第4問

【 解 答 】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】