東北大理系2016 - 大学入試数学の資料集

東北大理系2016：第1問

roundown — Sat, 18 Sep 2021 06:29:44 +0000

鋭角三角形 \(\triangle \text{ABC}\) において, 頂点 A , B , C から各対辺に垂線 AD , BE , CF を下ろす. これらの垂線は垂心 H で交わる. このとき, 以下の問に答えよ.

(1)　四角形 BCEF と AFHE が円に内接することを示せ.
(2)　\(\angle \text{ADE} = \angle \text{ADF}\) であることを示せ.

【解答】

(1)

\(\angle \text{BEC} = \angle \text{BFC} = 90^{\circ}\) なので, 点 E , F は BC を直径とする円周上にある.
よって, 四角形 BCEF は, 円に内接する.
\(\angle \text{AFH} = \angle \text{AEH} = 90^{\circ}\) なので, 点 E , F は AH を直径とする円周上にある.
よって, 四角形 AFHE は, 円に内接する.

(2)

(1) の結果から, 円周角の定理より \[ \angle \text{FBE} = \angle \text{FCE} \quad ... [1] \ . \] (1) と同様に考えると, 四角形 BDHF , 四角形 CEHD も円に内接するので, 円周角の定理より \[ \angle \text{FBH} = \angle \text{FDH} , \ \angle \text{HCE} = \angle \text{HDE} \quad ... [2] \ . \] [1] [2] より \[ \underline{\angle \text{ADE} = \angle \text{ADF}} \ . \]

東北大理系2016：第2問

roundown — Sat, 18 Sep 2021 06:31:38 +0000

以下の問いに答えよ.

(1)　\(6\) 以上の整数 \(n\) に対して不等式 \[ 2^n \gt n^2 +7 \] が成り立つことを数学的帰納法により示せ.
(2)　等式 \[ p^q = q^p +7 \] を満たす素数の組 \(( p , q )\) をすべて求めよ.

【解答】

(1)

示したい不等式を [A] とおく.

1*　\(n = 6\) のとき \[ 2^6 = 64 \gt 43 = 6^2 +7 \ . \] なので, [A] が成立する.
2*　\(n = k \ ( k \geqq 6 )\) のとき
[A] が成立する, すなわち \[ 2^k \gt k^2 +7 \quad ... [1] \] と仮定すると \[\begin{align} 2^{k+1} -( k+1 )^2 -7 & \gt 2 ( k^2 +7 ) -k^2 -2k -8 \quad ( \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = k^2 -2k +6 \\ & = ( k-1 )^2 +5 \gt 0 \ . \end{align}\] すなわち \[ 2^{k+1} \gt ( k+1 )^2 +7 \] で, \(n = k+1\) のときも [A] が成立する.

1* 2* から, 数学的帰納法により, 題意は示された.

(2)

1*　\(p = 2\) のとき \[ 2^q = q^2 +7 \] 両辺の奇偶を考えると, \(q\) は奇数であり, (1) の結果より, \(q \leqq 5\) なので, \(q\) の候補は \(3 , 5\) のみ.
- \(q=3\) のとき \[ 2^3 = 8 \neq 16 = 3^2 +7 \] で不適.
- \(q=5\) のとき \[ 2^5 = 32 = 5^2 +7 \] で適する.
2*　\(p\) が \(3\) 以上の素数のとき
両辺の奇偶を考えると \(q=2\) であり \[ p^2 = 2^p +7 \ . \] (1) の結果より, \(p \geqq 6\) のとき \[ p^2 \lt 2^p -7 \lt 2^p +7 \ . \] なので, \(p\) の候補は \(3 , 5\) のみ.
- \(p=3\) のとき \[ 3^2 = 9 \neq 15 = 2^3 +7 \] で不適.
- \(p=5\) のとき \[ 5^2 = 25 \neq 39 = 2^5 +7 \] で不適.

以上より, 求める組は \[ ( p , q ) = \underline{( 2 , 5 )} \ . \]

東北大理系2016：第3問

roundown — Sat, 18 Sep 2021 06:33:29 +0000

サイコロを \(3\) 回振って出た目の数をそれぞれ \(a , b , c\) とする. 以下の問いに答えよ.

(1)　\(a , b , c\) がある直角三角形の \(3\) 辺の長さとなる確率を求めよ.
(2)　\(a , b , c\) がある鈍角三角形の \(3\) 辺の長さとなる確率を求めよ.

【解答】

(1)

さいころの目の出方は, \(6^3\) 通り.
\(1\) から \(6\) の平方数は, \(1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36\) なので, 直角三角形となる \(3\) 辺の組合せは, \(( 3 , 4 , 5 )\) のみ.
\(a , b , c \) がこの組の数となるのは, \(3 !\) 通りなので, 求める確率は \[ \dfrac{3 !}{6^3} = \underline{\dfrac{1}{36}} \ . \]

(2)

\(a \geqq b \geqq c\) ... [1] と仮定すると, 鈍角三角形になるのは \[ a \lt b+c \quad \text{かつ} \quad a^2 \gt b^2 +c^2 \] が成立するとき.
\(a\) の値で場合分けして, 条件をみたす \(( b , c )\) の組を考える.

\(a = 6\) のとき \[ ( b , c ) = ( 5 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 3 ) \ . \]
\(a = 5\) のとき \[ ( b , c ) = ( 4 , 2 ) , ( 3 , 3 ) \ . \]
\(a = 4\) のとき \[ ( b , c ) = ( 3 , 2 ) \ . \]
\(a = 3\) のとき \[ ( b , c ) = ( 2 , 2 ) \ . \]
\(a = 2 , 1\) のときは, 条件をみたす組はない.

以上で求めた \(8\) 組の \((a , b , c)\) の組のうち, \(2\) 数のみが同じ組が \(3\) 組, \(3\) 数がすべて異なる組が \(5\) 組ある.
よって, [1] の仮定を取り除けば, 求める確率は \[ \dfrac{3 \cdot {} _ {3}\text{C} {} _ {2} +5 \cdot 3 !}{6^3} = \underline{\dfrac{13}{72}} \ . \]

東北大理系2016：第4問

roundown — Sat, 18 Sep 2021 06:37:00 +0000

多項式 \(P(x)\) を \[ P(x) = \dfrac{(x+i)^7 -(x-i)^7}{2i} \] により定める. ただし, \(i\) は虚数単位とする. 以下の問いに答えよ.

(1)　 \[\begin{align} P(x) & = a _ 0 x^7 +a _ 1 x^6 +a _ 2 x^5 +a _ 3 x^4 \\ & \qquad +a _ 4 x^3 +a _ 5 x^2 +a _ 6 x +a _ 7 \end{align}\] とするとき, 係数 \(a _ 0 , \cdots , a _ 7\) をすべて求めよ.
(2)　\(0 \lt \theta \lt \pi\) に対して \[ P \left( \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = \dfrac{\sin 7 \theta}{\sin^7 \theta} \] が成り立つことを示せ.
(3)　(1) で求めた \(a _ 1 , a _ 3 , a _ 5 , a _ 7\) を用いて, 多項式 \(Q (x) = a _ 1 x^3 +a _ 3 x^2 +a _ 5 x^2 +a _ 7\) を考える. \(\theta = \dfrac{\pi}{7}\) として, \(k = 1, 2, 3\) について \[ x _ k = \dfrac{\cos^2 k \theta}{\sin^2 k \theta} \] とおく. このとき, \(Q ( x _ k ) = 0\) が成り立つことを示し, \(x _ 1 + x _ 2 + x _ 3\) の値を求めよ.

【解答】

(1)

\[\begin{align} ( x+i )^7 & = x^7 +{} _ {7}\text{C} {} _ {1} i x^6 +{} _ {7}\text{C} {} _ {2} i^2 x^5 +{} _ {7}\text{C} {} _ {3} i^3 x^4 \\ & \qquad +{} _ {7}\text{C} {} _ {4} i^4 x^3 +{} _ {7}\text{C} {} _ {5} i^5 x^2 +{} _ {7}\text{C} {} _ {6} i^6 x +i^7 \\ & = x^7 +7i x^6 -21 x^5 -35i x^4 \\ & \qquad +35x^3 +21i x^2 -7x -i \quad ... [1] \ . \end{align}\] [1] の各項の係数を用いて, 符号に注意すれば \[\begin{align} ( x-i )^7 & = x^7 -7i x^6 -21 x^5 +35i x^4 \\ & \qquad +35x^3 -21i x^2 -7x +i \quad ... [2] \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} P(x) & = \dfrac{[1] -[2]}{2i} \\ & = 7 x^6 -35 x^4 +21 x^2 -1 \quad ... [3] \ . \end{align}\] よって \[ ( a_0 , a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , a_5 , a_6 . a_7 ) = \underline{( 0 , 7 , 0 , -35 , 0 , 21 , 0 , -1 )} \ . \]

(2)

ド・モアブルの定理を用いれば \[\begin{align} P \left( \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) & = \dfrac{( \cos \theta +i \sin \theta )^7 -( \cos \theta -i \sin \theta )^7}{2i \sin^7 \theta} \\ & = \dfrac{( \cos 7 \theta +i \sin 7 \theta ) -( \cos 7 \theta -i \sin 7 \theta )^7}{2i \sin^7 \theta} \\ & = \dfrac{\sin 7 \theta}{\sin^7 \theta} \end{align}\]

(3)

\[ Q(x) = 7 x^3 -35 x^2 +21 x -1 \ . \] [3] と比較すれば \[ Q( x^2 ) = P(x) \ . \] これを用いると \[\begin{align} Q( x_k ) & = Q \left( \dfrac{\cos^2 k \theta}{\sin^2 k \theta} \right) = P \left( \dfrac{\cos k \theta}{\sin k \theta} \right) \\ & = \dfrac{\sin 7 k \theta}{\sin^7 k \theta} \qquad( \ \text{∵} \ \text{(2)の結果} \ ) \\ & = \dfrac{\sin k \pi}{\sin^7 \frac{k \pi}{7}} \qquad ( \text{∵} \ \theta = \dfrac{\pi}{7} ) \\ & = 0 \ . \end{align}\] 関数 \(\dfrac{1}{\tan^2 u}\) が \(0 \lt u \lt \dfrac{\pi}{2}\) において単調減少するので, \(x_k = \dfrac{\cos^2 k \theta}{\sin^2 k \theta} = \dfrac{1}{\tan^2 \frac{k \pi}{7}} \ ( k = 1, 2, 3 )\) は, それぞれ異なる実数である.
\(Q(x) = 0\) は \(x\) の \(3\) 次方程式で, 高々 \(3\) つの実数解しか持たないので, \(x_1 , x_2 , x_3\) が \(Q(x) = 0\) の \(3\) つの解である.
よって, 解と係数の関係より \[ x_1 +x_2 +x_3 = -\dfrac{(-35)}{7} = \underline{5} \ . \]

東北大理系2016：第5問

roundown — Sat, 18 Sep 2021 06:38:51 +0000

空間内に, 直線 \(l\) で交わる \(2\) 平面 \(\alpha , \beta\) と交線 \(l\) 上の \(1\) 点 O がある. さらに, 平面 \(\alpha\) 上の直線 \(m\) と平面 \(\beta\) 上の直線 \(n\) を, どちらも点 O を通り \(l\) に垂直にとる. \(m , n\) 上にそれぞれ点 P , Q があり, \[ \text{OP} = \sqrt{3} , \quad \text{OQ} = 2 , \quad \text{PQ} = 1 \] であるとする. 線分 PQ 上の動点 T について, \(\text{PT} = t\) をおく. 点 T を中心とした半径 \(\sqrt{2}\) の球を考える. このとき, 以下の問いに答えよ.

(1)　\(S\) の平面 \(\alpha\) による切り口の面積を \(t\) を用いて表せ.
(2)　\(S\) の平面 \(\alpha\) による切り口の面積と \(S\) の平面 \(\beta\) による切り口の面積の和を \(f(t)\) とおく. T が線分 PQ 上を動くとき, \(f(t)\) の最大値と, そのときの \(t\) の値を求めよ.

【解答】

(1)

△ OPQ は上図のような直角三角形で, \(t\) のとりうる値の範囲は \(0 \leqq t \leqq 1\) ... [1] .
\(S\) の \(\alpha\) による切り口は円で, その半径を \(r_t\) とおくと \[ r_t = \sqrt{2 -t^2} \ . \] よって, 求める面積は \[ \underline{\pi \left( 2 -t^2 \right)} \ . \]

(2)

T から OQ に下した垂線の足を H とおくと, \(\triangle \text{OPQ} \sim \triangle \text{THQ}\) なので \[ \text{TH} = \dfrac{\sqrt{3} ( 1-t )}{2} \ . \] \(S\) の \(\beta\) による切り口は円で, その半径を \(R_t\) とおくと \[ R_t = \sqrt{2 -\dfrac{3}{4} (1-t)^2} = \dfrac{1}{2} \sqrt{5 +6t -3 t^2} \ . \] したがって \[\begin{align} f(t) & = \pi \left( {r_t}^2 +{R_t}^2 \right) \\ & = \dfrac{\pi}{4} \left( 13 +6t -7t^2 \right) \\ & = \dfrac{\pi}{4} \left\{ -7 \left( t -\dfrac{3}{7} \right)^2 +\dfrac{100}{7} \right\} \ . \end{align}\] よって, [1] の範囲で, \(f(t)\) は \(t = \underline{\dfrac{3}{7}}\) のとき, 最大値 \[ f \left( \dfrac{3}{7} \right) = \dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{100}{7} =\underline{\dfrac{25 \pi}{7}} \] をとる.

東北大理系2016：第6問

roundown — Sat, 18 Sep 2021 06:41:02 +0000

関数 \[ f(x) = \displaystyle\int _ {0}^{\pi} \left| \sin (t-x) -\sin 2t \right| \, dt \] の区間 \(0 \leqq x \leqq \pi\) における最大値と最小値を求めよ.

【解答】

\(g(x) = \sin (t-x) -\sin 2t\) とおく.
和・積の公式を用いると \[\begin{align} g(x) & = 2 \cos \dfrac{(t-x) +2t}{2} \, \sin \dfrac{(t-x) -2t}{2} \\ & = -2 \underline{\cos \dfrac{3t -x}{3}} _ {[1]} \, \underline{\sin \dfrac{t+x}{2}} _ {[2]} \ . \end{align}\] \(0 \leqq x \leqq \pi\) , \(0 \leqq t \leqq \pi\) に注意して, [1] [2] の符号について考える.
[1] については

\(-\dfrac{\pi}{2} \leqq \dfrac{3t -x}{2} \leqq \dfrac{\pi}{2}\) すなわち \(\dfrac{x -\pi}{3} \leqq 0 \leqq t \leqq \dfrac{x +\pi}{3}\) のとき \[ [1] \geqq 0 \ . \]
\(\dfrac{\pi}{2} \leqq \dfrac{3t -x}{2} \leqq \dfrac{3 \pi}{2}\) すなわち \(\dfrac{x +\pi}{3} \leqq t \leqq \pi \leqq x +\dfrac{\pi}{3}\) のとき \[ [1] \leqq 0 \ . \]

[2] については, 常に \(0 \leqq \dfrac{t+x}{2} \leqq \pi\) なので \[ [2] \geqq 0 \ . \] 以上より, \(\alpha = \dfrac{x +\pi}{3}\) とおけば \[ f(x) = \displaystyle\int _ {0}^{\alpha} g(t) \, dt - \displaystyle\int _ {\alpha}^{\pi} g(t) \, dt \ . \] ここで, \(G(t) = \displaystyle\int g(t) \, dt\) とおくと \[ G(t) = \cos (t-x) -\dfrac{1}{2} \cos 2t +C \quad ( \ C \ \text{は積分定数}) \] であり \[\begin{align} G( \alpha ) & = \cos ( \alpha -x ) -\dfrac{1}{2} \cos 2 \alpha +C \\ & = \cos \dfrac{\pi -2x}{3} -\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2 ( \pi +x )}{3} \ , \\ G(0) & = \cos x -\dfrac{1}{2} +C \ , \\ G( \pi ) & = -\cos x -\dfrac{1}{2} +C \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} f(x) & = 2 G( \alpha ) -G(0) -G( \pi ) \\ & = 2 \left( \dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2x}{3} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} \right) \\ & \qquad -\left( -\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2x}{3} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} \right) \\ & \qquad \qquad -\cos x +\dfrac{1}{2} +\cos x +\dfrac{1}{2} \\ & = \dfrac{3}{2} \cos \dfrac{2x}{3} +\dfrac{3 \sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} +1 \\ & = \dfrac{3}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \dfrac{2x}{3} +\dfrac{1}{2} \cos \dfrac{2x}{3} \right) +1 \\ & = 3 \sin \underline{\left( \dfrac{2x}{3} +\dfrac{\pi}{6} \right)} _ {[3]} +1 \ . \end{align}\] \(\dfrac{\pi}{6} \leqq [3] \leqq \dfrac{5 \pi}{6}\) なので

最大値は, \(f \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 3 \cdot 1 +1 = \underline{4}\) .
最小値は, \(f \left( \dfrac{\pi}{6} \right) = f \left( \dfrac{5 \pi}{6} \right) = 3 \cdot \dfrac{1}{2} +1 = \underline{\dfrac{5}{2}}\) .

東北大理系2016 - 大学入試数学の資料集

東北大理系2016：第1問

【 解 答 】

東北大理系2016：第2問

【 解 答 】

東北大理系2016：第3問

【 解 答 】

東北大理系2016：第4問

【 解 答 】

東北大理系2016：第5問

【 解 答 】

東北大理系2016：第6問

【 解 答 】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】