東大理系2008 - 大学入試数学の資料集

東大理系2008：第1問

roundown — Sun, 01 Jan 2012 12:22:29 +0000

座標平面の点 $(x,y)$ を $( 3x+y , -2x )$ へ移す移動 $f$ を考え, 点 P が移る先を $f( \text{P} )$ と表す. $f$ を用いて直線 $l _ 0 , l _ 1 , l _ 2 , \cdots$ を以下のように定める.

$l _ 0$ は直線 $3x+2y=1$ である.
点 P が $l _ n$ 上を動くとき, $f( \text{P} )$ が描く直線を $l _ {n+1}$ とする（ $n =0, 1, 2, \cdots$ ）.

(1)　$a _ {n+1} , b _ {n+1}$ を $a _ {n} , b _ {n}$ で表せ.
(2)　不等式 $a _ {n} x +b _ {n} y \gt 1$ が定める領域を $D _ n$ とする. $D _ 0 , D _ 1 , D _ 2 , \cdots$ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ.

【解答】

(1)

$f$ に対応する $2$ 次正方行列を $A$ とおくと \[ A = \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{array} \right) \] $l _ n : \ a _ n x +b _ n y =1$ 上の $2$ 点 $\left( \dfrac{1}{a _ n} , 0 \right) , \left( 0 , \dfrac{1}{b _ n} \right)$ は, $f$ によって \[\begin{align} \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dfrac{1}{a _ n} \\ 0 \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} \dfrac{3}{a _ n} \\ -\dfrac{2}{a _ n} \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 0 \\ \dfrac{1}{b _ n} \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{c} \dfrac{1}{b _ n} \\ 0 \end{array} \right) \end{align}\] の $2$ 点に移るので, $l _ {n+1}$ の式は \[\begin{align} \left( \dfrac{3}{a _ n} -\dfrac{1}{b _ n} \right) y -\left( -\dfrac{2}{a _ n} -0 \right) x & = 0 \\ 2 b _ n x +( -a _ n +3 b _ n ) y & = 2 \\ \text{∴} \quad b _ n x +\dfrac{-a _ n +3 b _ n}{2} y & = 1 \end{align}\] よって \[ a _ {n+1} =\underline{b _ n} , \quad b _ {n+1} =\underline{\dfrac{-a _ n +3 b _ n}{2}} \]

(2)

(1) の結果より \[\begin{align} 2 a _ {n+2} -3 a _ {n+1} +a _ n & = 0 \\ \text{∴} \quad 2 a _ {n+2} -a _ {n+1} & = 2 a _ {n+1} -a _ n \end{align}\] これを繰り返し用いれば \[\begin{align} 2 a _ {n+1} -a _ n = 2 b _ 1 -a _ 1 & = 2 \cdot 2 -3 = 1 \\ \text{∴} \quad a _ {n+1} -1 & = \dfrac{1}{2} ( a _ n -1 ) \end{align}\] したがって, 数列 $\left\{ a _ n -1 \right\}$ は, 公比 $\dfrac{1}{2}$ , 初項 $a _ 1 -1 =3-1 =2$ の等比数列なので \[\begin{align} a _ n -1 & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \cdot 2 = 2^{2-n} \\ \text{∴} \quad a _ n & = 2^{2-n} +1 \end{align}\] 再び (1) の結果を用いて \[ b _ n = a _ {n+1} = 2^{1-n} +1 \] $l _ n$ の $x$ 切片 $\dfrac{1}{a _ n}$ , $y$ 切片 $\dfrac{1}{b _ n}$ に着目すると, $n \geqq 0$ に対して \[\begin{align} \dfrac{1}{3} \leqq \dfrac{1}{a _ n} & = \dfrac{1}{2^{2-n} +1} \lt 1 \\ \dfrac{1}{2} \leqq \dfrac{1}{b _ n} & = \dfrac{1}{2^{1-n} +1} \lt 1 \end{align}\] また, $l _ n$ が $n$ によらず通る点について考えると \[\begin{align} ( 2^{2-n}+1 )x +( 2^{1-n}+1 )y & =1 \\ (2x+y) 2^{1-n} +x+y-1 & = 0 \end{align}\] なので \[\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=0 \\ x+y-1 =0 \end{array} \right. \\ \text{∴} \quad (x,y) = ( -1 , 2 ) \end{align}\] 以上より, 求める領域はすべての $l _ n$ （ $n =0, 1, 2, \cdots$ ）に対して上側となる領域で, 下図の斜線部（実線は含み, 破線と○は含まない）.

東大理系2008：第2問

roundown — Sun, 01 Jan 2012 13:39:29 +0000

白黒 $2$ 種類のカードがたくさんある. そのうち $k$ 枚のカードを手もとにもっているとき, 次の操作 (A) を考える.

(A)　手持ちの $k$ 枚の中から $1$ 枚を, 等確率 $\dfrac{1}{k}$ で選び出し, それを違う色のカードにとりかえる.

以下の問 (1) , (2) に答えよ.

(1)　最初に白 $2$ 枚, 黒 $2$ 枚, 合計 $4$ 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を $n$ 回繰り返した後に初めて, $4$ 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
(2)　最初に白 $3$ 枚, 黒 $3$ 枚, 合計 $6$ 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を $n$ 回繰り返した後に初めて, $6$ 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.

【解答】

(1)

操作 (A) を $n$ 回繰り返した後, $2$ 色のカードが $2$ 枚ずつとなる確率を $a _ n$ , $1$ 枚と $3$ 枚である確率を $b _ n$ とおく. ただし, $1$ 度でも $4$ 枚のカードが同じ色になる場合は除いて考える.
このとき \[\begin{align} a _ {n+1} =\dfrac{3}{4} b _ n & , \quad b _ {n+1} =a _ n \\ \text{∴} \quad b _ {n+2} & = \dfrac{3}{4} b _ n \end{align}\] $b _ 0 =0$ , $b _ 1 =1$ なので

$n$ が偶数のとき　$b _ n =0$
$n$ が奇数のとき　$b _ n =\left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n-1}{2}}$

求める確率は, $\dfrac{1}{4} b _ {n-1} \quad ( n \geqq 2 )$ と表せるので

$n$ が偶数のとき　$\underline{\dfrac{1}{4} \left( \dfrac{3}{4} \right)^{\frac{n}{2}-1}}$
$n$ が奇数のとき　$\underline{0}$

(2)

操作 (A) を $n$ 回繰り返した後, $2$ 色のカードが $3$ 枚ずつとなる確率を $p _ n$ , $2$ 枚と $4$ 枚である確率を $q _ n$ , $1$ 枚と $5$ 枚である確率を $r _ n$ とおく. ただし, $1$ 度でも $6$ 枚のカードが同じ色になる場合は除いて考える.
このとき \[\begin{align} p _ {n+1} & = \dfrac{2}{3} q _ n , \quad q _ {n+1} =p _ n +\dfrac{5}{6} r _ n , \quad r _ {n+1} =\dfrac{1}{3} q _ n \\ \text{∴} \quad q _ {n+2} & =p _ {n+1} +\dfrac{5}{6} r _ {n+1} = \dfrac{2}{3} q _ n +\dfrac{5}{18} q _ n = \dfrac{17}{18} q _ n \end{align}\] $q _ 0 =0$ , $q _ 1 =1$ なので,

$n$ が偶数のとき　$q _ n =0$
$n$ が奇数のとき　$q _ n =\left( \dfrac{17}{18} \right)^{\frac{n-1}{2}}$

求める確率は, $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{6} q _ {n-2} =\dfrac{1}{18} q _ {n-2}$ （ $n \geqq 3$ ）と表せるので

$n=1$ , $n$ が偶数のとき　$\underline{0}$
$n$ が $3$ 以上の奇数のとき　$\underline{\dfrac{1}{18} \left( \dfrac{17}{18} \right)^{\frac{n-3}{2}}}$

東大理系2008：第3問

roundown — Sat, 07 Jan 2012 03:00:56 +0000

(1)　正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く. この八面体を真上から見た図（平面図）を描け.
(2)　正八面体の互いに平行な $2$ つの面をとり, それぞれの面の重心を $\text{G} {} _ 1 , \text{G} {} _ 2$ とする. $\text{G} {} _ 1 , \text{G} {} _ 2$ を通る直線を軸としてこの八面体を $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ. ただし八面体は内部も含むものとし, 各辺の長さは $1$ とする.

【解答】

(1)

(2)

$h$ を正の実数として, $\text{G} _ 1 , \text{G} _ 2$ が $z$ 軸上になるように, 正八面体の $6$ つの頂点を \[\begin{align} \text{A} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} , 0 , h \right) , & \quad \text{B} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{6} , \dfrac{1}{2} , h \right) , \quad \text{C} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{6} , -\dfrac{1}{2} , h \right) , \\ \text{D} \left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} , 0 , -h \right) , & \quad \text{E} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{6} , \dfrac{1}{2} , -h \right) , \quad \text{F} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{6} , -\dfrac{1}{2} , -h \right) \end{align}\] とおく. $\text{AE} =1$ なので \[\begin{align} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{6} \right)^2 + & \left( \dfrac{1}{2} \right)^2 +(2h)^2 =1 \\ 4h^2 & =\dfrac{2}{3} \\ \text{∴} \quad h & =\dfrac{\sqrt{6}}{6} \end{align}\] 対称性から $z \geqq 0$ の領域について考えればよい.
平面 $z = t \quad ( 0 \leqq t \leqq h )$ と AE の交点を P とおけば, P は AE を $(h-t) : (h+t)$ に内分する点である.
また, AE の中点を M とおいて, 平面 $z=t$ での正八面体の切り口を $z$ 軸方向から見ると, 下図斜線部のようになる.

\[\begin{align} \text{AE} & = \dfrac{\sqrt{3}}{3} , \quad \text{OM} =\dfrac{1}{2} , \\ \text{PM} & = \dfrac{t}{2h} \text{AE} = \dfrac{\sqrt{2} t}{2} \end{align}\] したがって \[ \text{OP}^2 =\left( \dfrac{1}{2} \right)^2 +\left( \dfrac{\sqrt{2} t}{2} \right)^2 =\dfrac{2 t^2+1}{4} \] この図形を $z$ 軸を中心に回転させてできる円の面積 $S(t)$ とすると \[ S(t) =\pi \text{OP}^2 =\dfrac{\pi ( 2t^2+1 )}{4} \] よって, 求める体積 $V$ は \[\begin{align} V & = 2 \displaystyle\int _ 0^{\frac{\sqrt{6}}{6}} S(t) dt \\ & = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle\int _ 0^{\frac{\sqrt{6}}{6}} \, (2t^2+1) dt \\ & = \dfrac{\pi}{2} \left[ \dfrac{2t^3}{3} +t \right] _ 0^{\frac{\sqrt{6}}{6}} \\ & =\dfrac{\pi}{2} \left( \dfrac{\sqrt{6}}{54} +\dfrac{\sqrt{6}}{6} \right) \\ & = \underline{\dfrac{5 \sqrt{6} \pi}{54}} \end{align}\]

東大理系2008：第4問

roundown — Sat, 07 Jan 2012 03:02:09 +0000

放物線 $y=x^2$ 上に2点 P , Q がある. 線分 PQ の中点の $y$ 座標を $h$ とする.

(1)　線分 PQ の長さ $L$ と傾き $m$ で, $h$ で表せ.
(2)　$L$ を固定したとき, $h$ がとりうる値の最小値を求めよ.

【解答】

(1)

P , Q の $x$ 座標を $p , q$ とおくと \[\begin{align} m & = \dfrac{p^2-q^2}{p-q} = p+q , \\ L & = \sqrt{(p-q)^2 +(p^2-q^2)^2} \\ & = \sqrt{(p-q)^2 \left\{ (p+q)^2+1 \right\}} \\ & = \sqrt{\left\{ m^2 -4pq \right\} (m^2+1)} \\ \text{∴} \quad & pq =\dfrac{1}{4} \left( m^2 -\dfrac{L^2}{m^2+1} \right) \end{align}\] したがって \[\begin{align} h & = \dfrac{p^2+q^2}{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \left\{ m^2 -\dfrac{1}{2} \left( m^2 -\dfrac{L^2}{m^2+1} \right) \right\} \\ & = \underline{\dfrac{1}{4} \left( m^2 +\dfrac{L^2}{m^2+1} \right)} \end{align}\]

(2)

$t =m^2+1$ とおくと, $t \geqq 1$ . \[ h =\dfrac{1}{4} \left(t+\dfrac{L^2}{t} -1 \right) \] $f(t) =h$ とおくと

1*　$L \geqq 1$ のとき
相加相乗平均の関係より \[\begin{align} f(t) & = \dfrac{1}{4} \left( 2 \sqrt{t \cdot \dfrac{L^2}{t}} -1 \right) \\ & = \dfrac{2L-1}{4} \end{align}\] 等号成立は, $t =\dfrac{L^2}{t}$ すなわち $t =L$ のとき
2*　$0 \lt L \lt 1$ のとき \[ f'(t) =\dfrac{1}{4} \left( 1 -\dfrac{L^2}{t^2} \right) \geqq 0 \] したがって, $f(t)$ は単調増加し \[ f(t) \geqq f(1) =\dfrac{L^2}{4} \] 以上より, 求める最小値は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{L^2}{4} & \ \left( \ 0 \lt L \lt 1 \text{のとき} \right) \\ \dfrac{2L-1}{4} & \ \left( \ L \geqq 1 \text{のとき} \right) \end{array} \right.} \]

東大理系2008：第5問

roundown — Sat, 07 Jan 2012 14:02:48 +0000

自然数 $n$ に対し, $\dfrac{10^n -1}{9} =\overbrace{111 \cdots 111}^{n} = \fbox{$n$}$ で表す. たとえば, $\fbox{$1$}=1$ , $\fbox{$2$}=11$ , $\fbox{$3$}=111$ である.

(1)　$m$ を $0$ 以上の整数とする. $\fbox{$3^m$}$ は $3^m$ で割り切れるが, $3^{m+1}$ では割り切れないことを示せ.
(2)　$n$ が $27$ で割り切れることが, $\fbox{$n$}$ が $27$ で割り切れるための必要十分条件であることを示せ.

【解答】

(1)

$f(n) =\dfrac{10^n -1}{9}$ とおく.

[A]：『 $f(3^m)$ は $3^m$ で割り切れるが, $3^{m+1}$ では割り切れない』

[A] が $0$ 以上の整数 $m$ について成立することを, 数学的帰納法で示す.

1*　$m=0$ のとき \[ f(3^0) =f(1) =1 \] これは, $3^0 =1$ で割り切れるが, $3^1 =3$ では割り切れない.
したがって, $m=0$ のとき, [A] は成立する.
2*　$m=k \ ( k \geqq 0 )$ のとき, [A] が成立すると仮定すると \[\begin{align} f( 3^{k+1}) & = \dfrac{10^{3 \cdot 3^k} -1}{9} \\ & = \dfrac{\left( 10^{3^k} -1 \right) \left( 10^{2 \cdot 3^k} +10^{3^k} +1 \right)}{9} \\ & = f( 3^k ) \underline{\left( 10^{2 \cdot 3^k} +10^{3^k} +1 \right)} _ {[1]} \end{align}\] 下線部 [1] について, $\mod 3$ とすると \[ [1] \equiv 1^{2 \cdot 3^k} +1^{3^k} +1 \equiv 0 \] $\mod 9$ とすると \[ [1] \equiv 1^{2 \cdot 3^k} +1^{3^k} +1 \equiv 3 \] なので, [1] は $3$ で割り切れるが, $9$ では割り切れない.
仮定より, $f(3^k)$ は, $3^k$ では割り切れるが, $3^{k+1}$ では割り切れないので, $f(3^{k+1})$ は, $3^{k+1}$ では割り切れるが, $3^{k+2}$ では割り切れない.
したがって, $m=k+1$ のときも [A] が成立する.

以上より, 題意は示された.

(2)

[P]：『 $n$ が $27$ で割り切れる』
[Q]：『 $f(n)$ が $27$ で割り切れる』
1*　$\text{[P]} \Longrightarrow \text{[Q]}$ の証明
$n =27 i$ （ $i$ は $0$ 以上の整数）とおくと \[\begin{align} f(27i) & = \dfrac{10^{27i}-1}{9} \\ & = \dfrac{10^{27}-1}{9} \left\{ 10^{27(i-1)} +10^{27(i-2)} +\cdots +1 \right\} \\ & = f( 3^3 ) \left\{ 10^{27(i-1)} +10^{27(i-2)} +\cdots +1 \right\} \end{align}\] (1) の結果より, $f(3^3)$ は $3^3 =27$ で割り切れるので, $f(27i)$ は27で割り切れる.
2* $\text{[Q]} \Longrightarrow \text{[P]}$ の証明
$f(n)$ は $1$ が $n$ 個並んだ数なので,
$f(n) =27j$ （ $j$ は $0$ 以上の整数）ならば, $n =27j$ .

以上より, 題意は示された.

東大理系2008：第6問

roundown — Sun, 08 Jan 2012 11:00:57 +0000

座標平面において, 媒介変数 $t$ を用いて \[ \left\{ \begin{array}{l} x= \cos 2t \\ y= t \sin t \end{array} \right. \quad ( \ 0 \leqq t \leqq 2 \pi \] と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ.

【解答】

\[\begin{align} \dfrac{dx}{dt} & = -2\sin 2t , \\ \dfrac{dy}{dt} & = \sin t +t \cos t \end{align}\] $0 \leqq t \leqq 2 \pi$ において \[\begin{align} \dfrac{dx}{dt} & = -2\sin 2t =0 \\ \text{∴} \quad t =0 , & \dfrac{\pi}{2} , \pi , \dfrac{3 \pi}{2} , 2 \pi \end{align}\] また \[\begin{align} \dfrac{dy}{dt} = \sin t +t \cos t & =0 \\ \text{∴} \quad \tan t & = -t \quad ... [1] \end{align}\] $y= \tan t$ と $y =-t$ のグラフは下図のようになる.

したがって, [1] の解は \[ t = 0 , \alpha , \beta \quad \left( \ \dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi , \dfrac{3 \pi}{2} \lt \beta <2 \pi \ \right) \] 以上より, $(x, y)$ の増減表は下表の通りとなる. \[ \begin{array}{c|ccccccccccccc} t & 0 & \cdots & \dfrac{\pi}{2} & \cdots & \alpha & \cdots & \pi & \cdots & \dfrac{3 \pi}{2} & \cdots & \beta & \cdots & 2\pi \\ \hline \frac{dx}{dt} & 0 & - & 0 & + & & + & 0 & - & 0 & + & & + & 0 \\ \hline \frac{dy}{dt} & 0 & + & & + & 0 & - & & - & & - & 0 & + & \\ \hline x & 1 & \leftarrow & -1 & \rightarrow & & \rightarrow & 1 & \leftarrow & -1 & \rightarrow & & \rightarrow & 1 \\ \hline y & 0 & \uparrow & \dfrac{\pi}{2} & \uparrow & \max & \downarrow & 0 & \downarrow & -\dfrac{3 \pi}{2} & \downarrow & \min & \uparrow & 0 \end{array} \] ゆえに, 与えられた曲線の概形は下図のようになる.

したがって, 求める面積 $S$ は \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {t=\frac{\pi}{2}}^{t=\pi} y \, dx -\displaystyle\int _ {t=\frac{\pi}{2}}^{t=0} y \, dx +\displaystyle\int _ {t=\frac{3 \pi}{2}}^{t= 2\pi} (-y) \, dx -\displaystyle\int _ {t=\frac{3 \pi}{2}}^{t=\pi} (-y) \, dx \\ & = \displaystyle\int _ {t=0}^{t=\pi} y \, dx +\displaystyle\int _ {t=2 \pi}^{t=\pi} y \, dx \end{align}\] ここで, $F(t) =\displaystyle\int y \, dx$ とおくと \[\begin{align} F(t) & =\displaystyle\int \, t \sin t ( -2 \sin 2t ) \, dt \\ & = -4 \displaystyle\int \, t \sin^2 t ( \sin t )' \, dt \\ & = -\dfrac{4}{3} t \sin^3 t +\dfrac{4}{3} \displaystyle\int \, \sin^3 t \, dt \\ & = -\dfrac{4}{3} t \sin^3 t -\dfrac{4}{3} \displaystyle\int \, \left( 1 -\cos^2 t \right) \left( \cos t \right)' \, dt \\ & = -\dfrac{4}{3} t \sin^3 t -\dfrac{4}{3} \left( \cos t -\dfrac{1}{3} \cos^3 t \right) \\ & = -\dfrac{4}{3} t \sin^3 t -\dfrac{4}{3} \cos t +\dfrac{4}{9} \cos^3 t +C \quad ( \ C \text{は積分定数} ) \end{align}\] よって \[\begin{align} S & = 2F( \pi ) -F(0) -F( 2\pi ) \\ & = 2 \left( \dfrac{4}{3} -\dfrac{4}{9} \right) -\left( -\dfrac{4}{3} +\dfrac{4}{9} \right) -\left( -\dfrac{4}{3} +\dfrac{4}{9} \right) \\ & = \underline{\dfrac{32}{9}} \end{align}\]

東大理系2008 - 大学入試数学の資料集

東大理系2008：第1問

【 解 答 】

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東大理系2008：第6問

【 解 答 】

【解答】

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