筑波大理系2021 - 大学入試数学の資料集

筑波大理系2021：第1問

roundown — Sat, 11 Dec 2021 00:59:18 +0000

\(xy\) 平面において \(2\) つの円 \[\begin{align} C _ 1 \ & : \ x^2 -2x +y^2 +4y -11 = 0 \ , \\ C _ 2 \ & : \ x^2 -8x +y^2 -4y +k = 0 \end{align}\] が外接するとし, その接点を P とする. 以下の問いに答えよ.

(1)　\(k\) の値を求めよ.
(2)　P の座標を求めよ.
(3)　円 \(C_1\) と円 \(C_2\) の共通接線のうち点 P を通らないものは \(2\) 本ある. これら \(2\) 直線の交点 Q の座標を求めよ.

【解答】

(1)

\(C_1\) の式より \[ (x-1)^2 +(y+2)^2 = 16 \] なので, \(C_1\) は中心が点 A \(( 1 , -2 )\) , 半径 \(4\) .
\(C_2\) の式より \[ (x-4)^2 +(y-2)^2 = 20-k \] なので, \(C_2\) は中心が点 B \(( 4 , 2 )\) , 半径 \(\sqrt{20 -k}\) .
\[ \overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right) \ , \ \text{AB} = \sqrt{3^2 +4^2} = 5 \] ゆえに, \(C_1 , C_2\) が外接するのは \[\begin{align} 4 +\sqrt{20 -k} & = 5 \\ \text{∴} \quad k & = \underline{19} \end{align}\]

(2)

\[ \overrightarrow{\text{AP}} = \dfrac{4}{5} \overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} \dfrac{12}{5} \\ \dfrac{16}{5} \end{array} \right) \] なので \[ \text{P} \ \underline{\left( \dfrac{17}{5} , \dfrac{6}{5} \right)} \]

(3)

A, B から一方の接線に下した垂線の足をそれぞれ C, D とおくと,
\(\triangle \text{ACQ} \sim \triangle \text{BDQ}\) であり, 相似比は \(\text{AC} : \text{BD} = 4 : 1\) .
ゆえに \[ \overrightarrow{\text{BQ}} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \dfrac{4}{3} \end{array} \right) \] よって \[ \text{Q} \ \underline{\left( 5 , \dfrac{10}{3} \right)} \]

筑波大理系2021：第2問

roundown — Sat, 11 Dec 2021 01:00:32 +0000

\(t = \sin \theta +\cos \theta\) とし, \(\theta\) は \(-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) の範囲を動くものとする.

(1)　\(t\) のとりうる値の範囲を求めよ.
(2)　\(\sin^3 \theta +\cos^3 \theta\) と \(\cos 4 \theta\) を, それぞれ \(t\) を用いて表せ.
(3)　\(\sin^3 \theta +\cos^3 \theta = \cos 4 \theta\) であるとき, \(t\) の値をすべて求めよ.

【解答】

(1)

\[ t = \sqrt{2} \sin \left( \theta +\dfrac{\pi}{4} \right) \] \(-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) なので, \(-\dfrac{\pi}{4} \lt \theta +\dfrac{\pi}{4} \lt \dfrac{3 \pi}{4}\) .
よって \[ \underline{-1 \lt t \leqq \sqrt{2}} \quad ... [1] \]

(2)

\[\begin{align} t^2 & = 1 +2 \sin \theta \cos \theta \\ \text{∴} \quad \sin \theta \cos \theta & = \dfrac{t^2 -1}{2} \end{align}\] したがって \[\begin{align} \sin^3 \theta +\cos^3 \theta & = \left( \sin \theta +\cos \theta \right) \left( \sin^2 \theta -\sin \theta \cos \theta +\cos^2 \theta \right) \\ & = t \left( 1 -\dfrac{t^2 -1}{2} \right) \\ & = \underline{\dfrac{1}{2} t ( 3 -t^2 )} \ , \\ \cos 4 \theta & = 1 -2 \sin^2 2 \theta \\ & = 1 -8 \left( \sin \theta \cos \theta \right)^2 \\ & = 1 -2( t^2 -1 )^2 \\ & = \underline{-2x^4 +4t^2 -1} \end{align}\]

(3)

(2) の結果と条件より \[\begin{align} \dfrac{1}{2} t ( 3 -t^2 ) & = -2x^4 +4t^2 -1 \\ 4t^4 -t^3 -8t^2 +3t +2 & = 0 \\ ( t-1 )^2 ( 4t^2 +7t +2 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad t = 1 , \dfrac{-7 \pm \sqrt{17}}{8} \end{align}\] \(4 \lt \sqrt{17} \lt 5\) に注意すれば, [1] をみたす解は \[ t = \underline{1 , \dfrac{-7 +\sqrt{17}}{8}} \]

筑波大理系2021：第3問

roundown — Sat, 11 Dec 2021 01:01:31 +0000

O を原点とする座標空間において, \(3\) 点 A \(( -2 , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , 1 , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , 1 )\) を通る平面を \(\alpha\) とする. \(2\) 点 P \(( 0 , 5 , 5 )\) , Q \(( 1 , 1 , 1 )\) をとる. 点 P を通り \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) に平行な直線を \(\ell\) とする. 直線 \(\ell\) 上の点 R から平面 \(\alpha\) に下した垂線と \(\alpha\) の交点を S とする. \(\overrightarrow{\text{OR}} = \overrightarrow{\text{OP}} +k \overrightarrow{\text{OQ}}\) （ただし \(k\) は実数）とおくとき, 以下の問いに答えよ.

(1)　\(k\) を用いて, \(\overrightarrow{\text{AS}}\) を成分で表せ.
(2)　点 S が \(\triangle \text{ABC}\) の内部または周にあるような \(k\) の値の範囲を求めよ.

【解答】

(1)

\(\alpha\) の式は \[\begin{align} -\dfrac{x}{2} +y +z & = 1 \quad ... [1] \\ \text{∴} \quad z & = \dfrac{x}{2} -y +1 \quad ... [2] \end{align}\] [1]より, \(\alpha\) に垂直なベクトルの \(1\) つは \(\left( \begin{array}{c} -\dfrac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)\) . \[ \overrightarrow{\text{OR}} = \overrightarrow{\text{OP}} +k \overrightarrow{\text{OQ}} = \left( \begin{array}{c} k \\ k+5 \\ k+5 \end{array} \right) \] なので, [2] も用いて \[ \overrightarrow{\text{RS}} = \overrightarrow{\text{OS}} -\overrightarrow{\text{OR}} = \left( \begin{array}{c} x-k \\ y -k -5 \\ \dfrac{x}{2} -y -k-4 \end{array} \right) \] また, 実数 \(m\) を用いて \[ \overrightarrow{\text{RS}} = m \left( \begin{array}{c} -\dfrac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \] ゆえに, 成分を比較して \[ \left\{ \begin{array}{ll} x-k = -\dfrac{m}{2} & ... [3] \\ y -k -5 = m & ... [4] \\ \dfrac{x}{2} -y -k -4 = m & ... [5] \end{array} \right. \] [4] [5] より \[\begin{align} y -k -5 & = \dfrac{x}{2} -y -k -4 \\ \text{∴} \quad x & = 4y -2 \quad ... [6] \end{align}\] [3] に代入して \[\begin{align} -2 ( 4y -k ) & = y -k -5 \\ 9y & = 3k +9 \\ \text{∴} \quad y & = \dfrac{k}{3} +1 \end{align}\] [2] [6] より \[\begin{align} x & = \dfrac{4}{3} k +2 \ , \\ z & = \dfrac{2}{3} k +1 -\dfrac{k}{3} -1 +1 = \dfrac{k}{3} +1 \end{align}\] ゆえに \[ \text{S} \ \left( \dfrac{4}{3} k +2 , \dfrac{k}{3} +1 , \dfrac{k}{3} +1 \right) \] よって \[ \overrightarrow{\text{AS}} = \overrightarrow{\text{OS}} -\overrightarrow{\text{OA}} = \underline{\left( \dfrac{k}{3} +1 \right) \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)} \]

(2)

BC の中点を M とおくと, \(\overrightarrow{\text{AB}} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\) , \(\overrightarrow{\text{AC}} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)\) なので \[\begin{align} \overrightarrow{\text{AS}} = \left( \dfrac{k}{3} +1 \right) \left( \overrightarrow{\text{AB}} +\overrightarrow{\text{AC}} \right) = 2 \left( \dfrac{k}{3} +1 \right) \overrightarrow{\text{AM}} \end{align}\] したがって, 点 S が条件をみたすのは, 線分 AM 上にあるときで, 求める \(k\) 値の範囲は \[\begin{gather} 0 \leqq 2 \left( \dfrac{k}{3} +1 \right) \leqq 1 \\ -1 \leqq \dfrac{k}{3} \leqq -\dfrac{1}{2} \\ \text{∴} \quad \underline{-3 \leqq k \leqq -\dfrac{3}{2}} \end{gather}\]

筑波大理系2021：第4問

roundown — Sat, 11 Dec 2021 01:02:30 +0000

\(p , q\) を定数とし, \(0 \lt p \lt 1\) とする. \[\begin{align} \text{曲線} \ C_1 \ & : \ y = p x^{\frac{1}{p}} \quad ( x \gt 0 ) \quad \text{と, } \\ \text{曲線} \ C_2 \ & : \ y = \log x +q \quad ( x \gt 0 ) \end{align}\] が, ある \(1\) 点 \(( a , b )\) において同じ直線に接するとする. 曲線 \(C_1\) , 直線 \(x = a\) , 直線 \(x = e^{-q}\) および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を \(S_1\) とする. また, 曲線 \(C_2\) , 直線 \(x = a\) および \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を \(S_2\) とする.

(1)　\(q\) を \(p\) を用いて表せ.
(2)　\(S_1 , S_2\) を \(p\) を用いて表せ.
(3)　\(\dfrac{S_2}{S_1} \geqq \dfrac{3}{4}\) であることを示せ. ただし, \(2.5 \lt e \lt 3\) を用いてよい.

【解答】

(1)

\(0 \lt p \lt 1\) より, \(\dfrac{1}{p} \gt 1\) .
\(C_1\) の式より \[ y' = p \cdot \dfrac{1}{p} x^{\frac{1}{p} -1} = x^{\frac{1}{p} -1} \] なので, 点 \(( a , b )\) における接線の式は \[\begin{align} y & = a^{\frac{1}{p} -1} ( x-a ) +p a^{\frac{1}{p}} \\ & = a^{\frac{1}{p} -1} x -( 1-p ) a^{\frac{1}{p}} \quad ... [1] \end{align}\] \(C_2\) の式より \[ y' = \dfrac{1}{x} \] なので, 点 \(( a , b )\) における接線の式は \[\begin{align} y & = \dfrac{1}{a} ( x-a ) +\log a +q \\ & = \dfrac{1}{a} x +\log a +q -1 \quad ... [2] \end{align}\] [1] [2] が一致するので \[ \left\{ \begin{array}{ll} a^{\frac{1}{p} -1} = \dfrac{1}{a} & ... [3] \\ -( 1-p ) a^{\frac{1}{p}} = \log a +q -1 & ... [4] \end{array} \right. \] [3] より \[\begin{align} a^{\frac{1}{p}} & = 1 \\ \text{∴} \quad a & = 1 \end{align}\] [4] に代入して \[\begin{align} p-1 & = q-1 \\ \text{∴} \quad q & = \underline{p} \end{align}\]

(2)

\(a = 1\) より, \(b = p\) .
\(0 \lt p \lt 1\) より, \(\dfrac{1}{e} \lt e^{-p} \lt 1\) .
したがって \[\begin{align} S_1 & = \displaystyle\int _ {e^{-p}}^{1} p x^{\frac{1}{p}} \, dx \\ & = p \left[ \dfrac{1}{\frac{1}{p} +1} x^{\frac{1}{p} +1} \right] _ {e^{-p}}^{1} \\ & = \underline{\dfrac{p^2}{p+1} \left( 1 -e^{-p-1} \right)} \end{align}\] また \[\begin{align} S_2 & = \displaystyle\int _ {e^{-p}}^{1} ( \log x +p ) \, dx \\ & = \left[ x ( \log x -1) +px \right] _ {e^{-p}}^{1} \\ & = -1 +p +e^{-p} ( p+1 ) -p e^{-p} \\ & = \underline{e^{-p} +p -1} \end{align}\]

(3)

\(S_1 \gt 0\) なので, 示したい式を変形すると \[ 4 S_2 -3 S_1 \geqq 0 \quad ... [\text{A}] \] なので, これを示せばよい.
\[\begin{align} 4 S_2 -3 S_1 & = 4 \left( e^{-p} +p -1 \right) -\dfrac{3 p^2}{p+1} \left( 1 -e^{-p-1} \right) \\ & = \dfrac{4 ( p+1 ) \left( e^{-p} +p -1 \right) -3 p^2 ( 1 -e^{-p-1} )}{p+1} \\ & = \dfrac{\left( \dfrac{3}{e} p^2 +4p +4 \right) e^{-p} +p^2 -4}{p+1} \\ & \gt \dfrac{( p+2 )^2 e^{-p} +( p+2 ) ( p-2 )}{p+1} \quad \left( \ \text{∵} \ \dfrac{3}{e} \gt 1 \ \right) \\ & = \dfrac{p+2}{p+1} \underline{\left\{ (p+2) e^{-p} +p-2 \right\}} _ {[5]} \end{align}\] [5] を \(f(p)\) とおくと, \(f(p) \gt 0\) を示せばよい. \[\begin{align} f'(p) & = e^{-p} -( p+2 ) e^{-p} +1 \\ & = -( p+1 ) e^{-p} +1 \ , \\ f''(p) & = -e^{-p} +( p+1 ) e^{-p} =p e^{-p} \gt 0 \end{align}\] したがって, \(f'(p)\) は単調増加し \[ f'(p) \gt f'(0) = -1 +1 = 0 \] したがって, \(f(p)\) は単調増加し \[ f(p) \gt f(0) = 2 -2 = 0 \] よって, [A] が示されて題意も示された.

筑波大理系2021：第5問

roundown — Sat, 11 Dec 2021 01:03:54 +0000

O を原点とする \(xy\) 平面において, 点 A \(( -1 , 0 )\) と点 B \(( 2 , 0 )\) をとる. 円 \(x^2 +y^2 = 1\) の, \(x \geqq 0\) かつ \(y \geqq 0\) を満たす部分を \(C\) とし, また点 B を通り \(y\) 軸に平行な直線を \(\ell\) とする. \(2\) 以上の整数 \(n\) に対し, 曲線 \(C\) 上に点 P, Q を \[ \angle \text{POB} = \dfrac{\pi}{n} \ , \ \angle \text{QOB} = \dfrac{\pi}{2n} \] を満たすようにとる. 直線 AP と直線 \(\ell\) の交点を V とし, 直線 AQ と直線 \(\ell\) の交点を W とする. 線分 AP, 線分 AQ および曲線 \(C\) で囲まれた図形の面積を \(S(n)\) とする. また線分 PV, 線分 QW, 曲線 \(C\) および線分 VW で囲まれた図形の面積を \(T(n)\) とする.

(1)　\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} n \{ S(n) +T(n) \}\) を求めよ.
(2)　\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{T(n)}{S(n)}\) を求めよ.

【解答】

(1)

点 A は円 \(x^2 +y^2 =1\) 上の点なので, 円周角の定理より \[ \angle \text{PAQ} = \angle \text{QAB} = \dfrac{\pi}{4n} \] \(\text{BV} = 3 \tan \dfrac{\pi}{2n}\) , \(\text{BW} = 3 \tan \dfrac{\pi}{4n}\) なので \[\begin{align} S(n) +T(n) & = \triangle \text{VWA} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( 3 \tan \dfrac{\pi}{2n} -3 \tan \dfrac{\pi}{4n} \right) \cdot 3 \\ & = \dfrac{9}{2} \left( \tan \dfrac{\pi}{2n} -\tan \dfrac{\pi}{4n} \right) \end{align}\] よって \[\begin{align} n \{ S(n) +T(n) \} & = \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2n}}{\dfrac{\pi}{2n}} \cdot \dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi}{2n}} -\dfrac{\pi}{4} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{4n}}{\dfrac{\pi}{4n}} \cdot \dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi}{4n}} \right) \\ & \rightarrow \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{\pi}{2} \cdot 1 \cdot 1 -\dfrac{\pi}{4} \cdot 1 \cdot 1 \right) \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} \ ) \\ & = \dfrac{9 \pi}{8} \end{align}\] すなわち \[ \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} n \{ S(n) +T(n) \} = \underline{\dfrac{9 \pi}{8}} \]

(2)

\[\begin{align} S(n) & = \triangle \text{AOP} +( \text{扇形 OPQ} ) -\triangle \text{OPQ} \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin \dfrac{\pi}{n} -\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{\pi}{2n} +\dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \dfrac{\pi}{2n} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( \sin \dfrac{\pi}{n} +\sin \dfrac{\pi}{2n} -\dfrac{\pi}{2n} \right) \end{align}\] なので \[\begin{align} n S(n) & = \dfrac{1}{2} \left( \pi \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{n}}{\dfrac{\pi}{n}} +\dfrac{\pi}{2} \cdot \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2n}}{\dfrac{\pi}{2n}} -\dfrac{\pi}{2} \right) \\ & \rightarrow \dfrac{1}{2} \left( \pi +\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{\pi}{2} \right) \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} \ ) \\ & = \dfrac{\pi}{2} \end{align}\] これと (1) の結果を用いれば \[\begin{align} \dfrac{T(n)}{S(n)} & = \dfrac{n \{ S(n) +T(n) \}}{n S(n)} -1 \\ & \rightarrow \dfrac{\dfrac{9 \pi}{8}}{\dfrac{\pi}{2}} -1 \quad ( \ n \rightarrow \infty \ \text{のとき} \ ) \\ & = \dfrac{5}{4} \end{align}\] すなわち \[ \displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{T(n)}{S(n)} = \underline{\dfrac{5}{4}} \]

筑波大理系2021：第6問

roundown — Sat, 11 Dec 2021 01:04:57 +0000

\(i\) を虚数単位とする. 複素数平面において, 複素数 \(z\) の表す点 P を P \((z)\) または点 \(z\) と書く. \(\omega = -\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} i\) とおき, \(3\) 点 A \((1)\) , B \(( \omega )\) , C \(( \omega^2 )\) を頂点とする \(\triangle \text{ABC}\) を考える.

(1)　\(\triangle \text{ABC}\) は正三角形であることを示せ.
(2)　点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(-z\) が描く図形を複素数平面上に図示せよ.
(3)　点 \(z\) が辺 AB 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_1\) とする. また, 点 \(z\) が辺 AC 上を動くとき, 点 \(z^2\) が描く図形を \(E_2\) とする. \(E_1\) と \(E_2\) の共有点をすべて求めよ.

【解答】

(1)

\[\begin{align} \omega & = \cos \dfrac{2 \pi}{3} +i \sin \dfrac{2 \pi}{3} \ , \\ \omega^2 & = \cos \dfrac{4 \pi}{3} +i \sin \dfrac{4 \pi}{3} = \cos \left( -\dfrac{2 \pi}{3} \right) +i \sin \left( -\dfrac{2 \pi}{3} \right) \end{align}\] したがって \[\begin{align} & \text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = 1 \ , \\ & \angle \text{AOB} = \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \dfrac{2 \pi}{3} \end{align}\] ゆえに, \(2\) 辺とその間の角がそれぞれ等しいので \[ \triangle \text{OAB} \equiv \triangle \text{OBC} \equiv \triangle \text{OCA} \] よって, \(\text{AB} = \text{BC} = \text{CA}\) なので, \(\triangle \text{ABC}\) は正三角形.

(2)

点 \(-z\) は点 \(z\) と原点について対称なので, 描く図形は下図実線部.

(3)

AB, AC 上を動く \(z\) をそれぞれ \(z_1 , z_2\) とおくと \(E_1 , E_2\) の共有点となるのは \[\begin{align} { z_1 }^2 & = { z_2 }^2 \\ \text{∴} \quad z_1 & = \pm z_2 \end{align}\]

\(z_1 = z_2\) のとき, AB と AC の共有点は A なので \[ z = 1 \] このとき, \(z^2 = 1\) .
\(z_1 = -z_2\) のとき, (2) で求めた図形と AB の共有点は \(\dfrac{i}{\sqrt{3}}\) なので \[ z = \dfrac{i}{\sqrt{3}} \] このとき, \(z^2 = -\dfrac{1}{3}\) .

よって, 求める共有点は \[ \underline{1 , -\dfrac{1}{3}} \]

筑波大理系2021 - 大学入試数学の資料集

筑波大理系2021：第1問

【 解 答 】

筑波大理系2021：第2問

【 解 答 】

筑波大理系2021：第3問

【 解 答 】

筑波大理系2021：第4問

【 解 答 】

筑波大理系2021：第5問

【 解 答 】

筑波大理系2021：第6問

【 解 答 】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】

【解答】