\(2\) 以上の整数 \(m , n\) は \(m^3+1^3 = n^3+10^3\) をみたす. \(m , n\) を求めよ.
【 解 答 】
与式より \[\begin{align} m^3-n^3 & = 999 \\ \text{∴} \quad (m-n)(m^2+mn+n^2) & = 3^3 \cdot 37 \end{align}\] ここで, \[ 0 \lt m-n \lt (m-n)^2 \lt m^2+mn+n^2 \] であることに注意すれば, 解の候補は \[ ( m , n ) = (1 , 999) , (3, 333) , (9, 111) \]
1* \(( m , n ) = (1 , 999)\) のとき \(m =n+1\) を代入すると \[\begin{align} (n+1)^2 +(n+1)n +n^2 & = 999 \\ 3n^2 +3n-998 & = 0 \end{align}\] これは整数解を持たないので, 不適.
2* \(( m , n ) = (3, 333)\) のとき \(m =n+3\) を代入すると \[\begin{align} (n+3)^2 +(n+3)n +n^2 & = 333 \\ n^2 +3n-108 & = 0 \\ (n-9)(n+12) & = 0 \\ \text{∴} \quad n = 9 , \ m & = 12 \end{align}\]
3* \(( m , n ) = (9, 111)\) のとき \(m =n+9\) を代入すると \[\begin{align} (n+9)^2 +(n+9)n +n^2 & = 111 \\ n^2 +9n-10 & = 0 \\ (n-1)(n+10) & = 0 \end{align}\] これは \(n \geqq 2\) を満たさないので不適.
以上より \[ \underline{( m, n ) = ( 12 , 9 )} \]