(1) 任意の角 \(\theta\) に対して, \(-2 \leqq x \cos \theta +y \sin \theta \leqq y+1\) が成立するような点 \((x, y)\) の全体からなる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.
(2) 任意の角 \(\alpha , \beta\) に対して, \(-1 \leqq x^2 \cos \alpha +y \sin \beta \leqq 1\) が成立するような点 \((x, y)\) の全体からなる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.
【 解 答 】
(1)
明らかに
\[\begin{align}
-2 & \leqq y+1 \\
\text{∴} \quad y & \geqq -3
\end{align}\]
与式を変形すると
\[
-2 \leqq \sqrt{x^2+y^2} \cos ( \theta +\gamma ) \leqq y+1
\]
ただし, \(\cos \gamma = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) , \(\sin \gamma = -\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\) .
中辺を \(A\) とおけば, \(\sqrt{x^2+y^2} \leqq A \leqq -\sqrt{x^2+y^2}\) なので, \(2\) と \(y+1\) の大小によって場合分けして考える.
1* \(y+1 \leqq 2\) すなわち \(-3 \leqq y \leqq 1\) のとき
求める条件は \[\begin{align} \sqrt{x^2+y^2} & \leqq y+1 \\ \text{∴} \quad x^2+y^2 & \leqq (y+1)^2 \\ \text{∴} \quad y & \leqq \dfrac{x^2-1}{2} \end{align}\]2* \(y+1 \gt 2\) すなわち \(y \gt 1\) のとき
求める条件は \[\begin{align} \sqrt{x^2+y^2} & \leqq 2 \\ \text{∴} \quad x^2+y^2 & \leqq 4 \end{align}\]
以上より, 求める領域は下図斜線部（境界を含む）となる.
また, この領域の面積 \(S\) は, \(y = 1\) の上下に分けて考えて \[\begin{align} S & = \displaystyle\int _ {-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left( 1-\dfrac{x^2-1}{2} \right) \, dx \\ & \qquad +\dfrac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} -\dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 \\ & = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\left( 2 \sqrt{3} \right)^3}{6} +\dfrac{4\pi}{3} -\sqrt{3} \\ & = \underline{\dfrac{4\pi}{3} +\sqrt{3}} \end{align}\]
(2)
与式の中辺を \(B\) とおく.
\(-1 \leqq \cos \alpha \leqq 1\) , \(-1 \leqq \sin \beta \leqq 1\) なので, \(y\) の正負によって場合分けして考える.
1* \(y \geqq 0\) のとき \[ -x^2 -y \leqq B \leqq x^2+y \] なので, 求める条件は \[\begin{align} 0 \leqq x^2+y & \leqq 1 \\ \text{∴} \quad 0 \leqq y & \leqq 1-x^2 \end{align}\]
2* \(y \lt 0\) のとき \[ -x^2 +y \leqq B \leqq x^2-y \] なので, 求める条件は \[\begin{align} 0 \leqq x^2-y & \leqq 1 \\ \text{∴} \quad x^2-1 \leqq y & \lt 0 \end{align}\]
以上より, 求める領域は下図斜線部（境界を含む）となる.
また, この領域の面積 \(T\) は \[\begin{align} T & = 2 \displaystyle\int _ {-1}^{1} \left( 1-x^2 \right) \, dx \\ & = 2 \cdot \dfrac{2^2}{6} =\underline{\dfrac{8}{3}} \end{align}\]