\(n\) を \(3\) 以上の自然数とする. サイコロを \(n\) 回投げ, 出た目の数をそれぞれ順に \(X _ 1 , X _ 2 , \cdots X _ n\) とする. \(i = 2 , 3 , \cdots n\) に対して \(X _ i = X _ {i-1}\) となる事象を \(A _ i\) とする.
(1) \(A _ 2 , A _ 3 , \cdots , A _ n\) のうち少なくとも \(1\) つが起こる確率 \(p _ n\) を求めよ.
(2) \(A _ 2 , A _ 3 , \cdots , A _ n\) のうち少なくとも \(2\) つが起こる確率 \(q _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(A _ 2 , A _ 3 , \cdots , A _ n\) のうち, ちょうど \(k\) 個（ \(0 \leqq k \leqq n\) ）が起こる事象を \(B _ k\) , 確率を \(b _ k\) とおく. \[ b _ 0 = \dfrac{6 \cdot 5^{n-1}}{6^n} = \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-1} \] 題意の事象は \(B _ 0\) の余事象なので, 求める確率は \[ p _ n = 1 -b _ 0 = \underline{1 -\left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-1}} \]
(2)
\[ b _ 1 = \dfrac{( n-1 ) \cdot 6 \cdot 5^{n-2}}{6^n} = \dfrac{n-1}{6} \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-2} \] 題意の事象は \(B _ 0 \cup B _ 1\) の余事象で, \(B _ 0 \cap B _ 1 = \phi\) なので, 求める確率は \[ q _ n = 1 -b _ 0 -b _ 1 = \underline{1 - \dfrac{n+4}{6} \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-2}} \]