(1) 自然数 \(x , y\) は, \(1 \lt x \lt y\) および \(\left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) = \dfrac{5}{3}\) をみたす. \(x , y\) の組をすべて求めよ.
(2) 自然数 \(x , y , z\) は, \(1 \lt x \lt y \lt z\) および \(\left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{z} \right) = \dfrac{12}{5}\) をみたす. \(x , y , z\) の組をすべて求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(x \geqq 4\) と仮定すると, \[\begin{align} \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) & \leqq \left( 1 +\dfrac{1}{4} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{5} \right) \\ & = \dfrac{3}{2} \lt \dfrac{5}{3} \end{align}\] なので, 矛盾する. したがって, \(x=2 , 3\) である必要がある.
\(x = 2\) のとき \[\begin{align} \dfrac{3}{2} \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) & = \dfrac{5}{3} \\ \text{∴} \quad y = 9 & \end{align}\]
\(x = 3\) のとき \[\begin{align} \dfrac{4}{3} \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) & = \dfrac{5}{3} \\ \text{∴} \quad y = 4 & \end{align}\]
以上より, 求める組は \[ ( x , y ) = \underline{( 2 , 9 ) , ( 3 , 4 )} \]
(2)
\(x \geqq 3\) と仮定すると
\[\begin{align}
\left( 1 +\dfrac{1}{x} \right) & \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{z} \right) \\
& \leqq \left( 1 +\dfrac{1}{3} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{4} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{5} \right) \\
& = 2 \lt \dfrac{12}{5}
\end{align}\]
なので, 矛盾する.
したがって, \(x = 2\) である必要がある.
このとき
\[\begin{align}
\dfrac{3}{2} \left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{z} \right) & = \dfrac{12}{5} \\
\left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{z} \right) & = \dfrac{8}{5}
\end{align}\]
ここで \(y \geqq 5\) と仮定すると
\[\begin{align}
\left( 1 +\dfrac{1}{y} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{z} \right) & \leqq \left( 1 +\dfrac{1}{5} \right) \left( 1 +\dfrac{1}{6} \right) \\
& = \dfrac{7}{5} \lt \dfrac{8}{5}
\end{align}\]
なので, 矛盾する.
したがって, \(y=3 , 4\) である必要がある.
\(y=3\) のとき \[\begin{align} \dfrac{4}{3} \left( 1 +\dfrac{1}{z} \right) & = \dfrac{8}{5} \\ \text{∴} \quad z = 5 & \end{align}\]
\(y=4\) のとき \[\begin{align} \dfrac{5}{4} \left( 1 +\dfrac{1}{z} \right) & = \dfrac{8}{5} \\ \text{∴} \quad z = \dfrac{25}{7} & \end{align}\] これは自然数でないので不適.
以上より, 求める組は \[ ( x , y , z ) = \underline{( 2 , 3 , 5 )} \]