\(xy\) 平面上に放物線 \(C : \ y = -3x^2 +3\) と \(2\) 点 A \(( 1 , 0 )\) , P \(( 0 , 3p )\) がある. 線分 AP と \(C\) は, A とは異なる点 Q を共有している.
(1) 定数 \(p\) の存在する範囲を求めよ.
(2) \(\text{S} _ 1\) を, \(C\) と線分 AQ で囲まれた領域とし, \(\text{S} _ 2\) を, \(C\) , 線分 QP , および \(y\) 軸で囲まれた領域とする. \(\text{S} _ 1\) と \(\text{S} _ 2\) の面積の和が最小になる \(p\) の値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[ \text{線分 AP} : \ y = -3px+3p \quad ( 0 \leqq x \leqq 1 ) \] これと \(C : \ y = -3x^2+3\) の交点の \(x\) 座標は \[\begin{align} -3px+3p & = -3x^2+3 \\ x^2 -px +p-1 & = 0 \\ ( x-1 )( x-p+1 ) & = 0 \\ \text{∴} \quad x = 1 , p-1 & \end{align}\] \(0 \leqq x \leqq 1\) において, \(2\) つの交点を持つので \[\begin{gather} 0 \leqq p-1 \lt 1 \\ \text{∴} \quad \underline{1 \leqq p \lt 2} \end{gather}\]
(2)
\[\begin{align} \text{S} _ 1 +\text{S} _ 2 & = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3p -\dfrac{1}{2} \displaystyle\int _ {-1}^1 (-3x^2+3) \, dx \\ & \qquad +2 \displaystyle\int _ {p-1}^1 \left\{ (-3x^2+3) -(-3px+3p) \right\} \, dx \\ & = \dfrac{3p}{2} -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{6} \left\{ 1 -(-1) \right\}^3 +2 \cdot \dfrac{3}{6} \left\{ 1 -(p-1) \right\}^3 \\ & = \dfrac{3p}{2} -2 +(2-p)^3 \\ & = \dfrac{1}{2} ( \underline{-2p^3+12p^2 -21p +12} ) \end{align}\] この下線部を \(f(p)\) とおくと, \[\begin{align} f'(p) & = -6p^2+24p-21 \\ & =-6\left( p-\dfrac{4+\sqrt{2}}{2} \right) \left( p-\dfrac{4-\sqrt{2}}{2} \right) \end{align}\] \(1 \leqq p \lt 2\) において, \(f'(p) = 0\) を解くと \[ p = \dfrac{4-\sqrt{2}}{2} \] したがって, \(f(p)\) の増減表は下のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} p & 1 & \cdots & \dfrac{4-\sqrt{2}}{2} & \cdots & (2) \\ \hline f'(p) & & - & 0 & + & \\ \hline f(p) & & \searrow & \text{最小} & \nearrow & \end{array} \] よって, 求める \(p\) の値は \[ p = \underline{\dfrac{4-\sqrt{2}}{2}} \]