\(a , b , c\) を正の定数とする. 空間内に \(3\) 点 A \(( a , 0 , 0 )\) , B \(( 0 , b , 0 )\) , C \(( 0 , 0 , c )\) がある.
(1) 辺 AB を底辺とするとき, △ABC の高さを \(a , b , c\) で表せ.
(2) △ABC , △OAB , △OBC , △OCA の面積をそれぞれ \(S , S _ 1 , S _ 2 , S _ 3\) とする. ただし, O は原点である. このとき, 不等式 \(\sqrt{3} S \geqq S _ 1 +S _ 2 +S _ 3\) が成り立つことを示せ.
(3) (2) の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\overrightarrow{\text{CA}} = \left( \begin{array}{c} -a \\ 0 \\ c \end{array} \right)\) , \(\overrightarrow{\text{CB}} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -b \\ c \end{array} \right)\) なので \[ \overrightarrow{\text{CA}} \cdot \overrightarrow{\text{CA}} = c^2 \] したがって \[\begin{align} \triangle \text{ABC} & = \dfrac{1}{2} \sqrt{ \left| \overrightarrow{\text{CA}} \right|^2 \left| \overrightarrow{\text{CB}} \right|^2 -\left( \overrightarrow{\text{CA}} \cdot \overrightarrow{\text{CB}} \right)^2} \\ & = \dfrac{1}{2} \sqrt{(a^2+c^2) +(b^2+c^2) -c^4} \\ & = \dfrac{1}{2} \sqrt{a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2} \quad ... [1] \end{align}\] また, 求める高さを \(h\) とおけば, \(\triangle \text{ABC} = \dfrac{1}{2} h \sqrt{a^2+b^2}\) なので \[ h = \underline{\sqrt{\dfrac{a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2}{a^2+b^2}}} \]
(2)
\[\begin{align} S _ 1 +S _ 2 +S _ 3 & = \dfrac{1}{2} (ab+bc+ca) = \dfrac{1}{2} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} ab \\ bc \\ ca \end{array} \right) \\ & \leqq \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2+1^2+1^2} \sqrt{a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2} \quad ( \ \text{∵} \ \text{三角不等式} \ ) \\ & = \sqrt{3} S \quad ( \ \text{∵} \ [1] \ ) \end{align}\] ゆえに \[ \sqrt{3} S \geqq S _ 1 +S _ 2 +S _ 3 \]
(3)
(2) の結果において, 等式が成立するのは \[ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) / \! / \left( \begin{array}{c} ab \\ bc \\ ca \end{array} \right) \] したがって, \(ab=bc=ca\) すなわち \(\underline{a=b=c}\) のとき.