A と B の \(2\) 人が, \(1\) 個のサイコロを次の手順により投げ合う.
\(1\) 回目は A が投げる.
\(1, 2, 3\) の目が出たら, 次の回には同じ人が投げる.
\(4, 5\) の目が出たら, 次の回には別の人が投げる.
\(6\) の目が出たら, 投げた人を勝ちとしそれ以降は投げない.
(1) \(n\) 回目に A がサイコロを投げる確率 \(a _ n\) を求めよ.
(2) ちょうど \(n\) 回目のサイコロ投げで A が勝つ確率 \(p _ n\) を求めよ.
(3) \(n\) 回以内のサイコロ投げで A が勝つ確率 \(q _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(n\) 回目に A , B が投げる確率をそれぞれ \(a _ n\) , \(b _ n\) とおくと \[\begin{align} a _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} a _ n +\dfrac{1}{3} b _ n \quad ... [1] , \\ b _ {n+1} & = \dfrac{1}{3} a _ n +\dfrac{1}{2} b _ n \quad ... [2] \end{align}\] \([1]+[2]\) より \[ a _ {n+1}+b _ {n+1} = \dfrac{5}{6} ( a _ n+b _ n ) \] なので \[ a _ n+b _ n = \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-1} ( a _ 1+b _ 1 ) = \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-1} \quad ... [3] \] \([1]-[2]\) より \[ a _ {n+1}-b _ {n+1} = \dfrac{1}{6} ( a _ n-b _ n ) \] なので \[ a _ n-b _ n = \left( \dfrac{1}{6} \right)^{n-1} ( a _ 1-b _ 1 ) = \left( \dfrac{1}{6} \right)^{n-1} \quad ... [4] \] したがって, [3] [4] より \[ a _ n = \underline{\dfrac{1}{2} \left\{ \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-1} +\left( \dfrac{1}{6} \right)^{n-1} \right\}} \]
(2)
\(n\) 回目に A が投げて, \(6\) が出ればよいので \[ p _ n =\dfrac{1}{6} a _ n = \underline{\dfrac{1}{12} \left\{ \left( \dfrac{5}{6} \right)^{n-1} +\left( \dfrac{1}{6} \right)^{n-1} \right\}} \]
(3)
(2) の結果を用いれば \[\begin{align} q _ n & = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n p _ n = \dfrac{1}{12} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \left\{ \left( \dfrac{5}{6} \right)^{k-1} +\left( \dfrac{1}{6} \right)^{k-1} \right\} \\ & = \dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{5}{6} \right)^n}{1 -\dfrac{5}{6}} +\dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{1 -\left( \dfrac{1}{6} \right)^n}{1 -\dfrac{1}{6}} \\ & = \dfrac{1}{2} \left\{1 -\left( \dfrac{5}{6} \right)^n \right\} +\dfrac{1}{10} \left\{ 1 -\left( \dfrac{1}{6} \right)^n \right\} \\ & = \underline{\dfrac{3}{5} -\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{5}{6} \right)^n +\dfrac{1}{10} \left( \dfrac{1}{6} \right)^n} \end{align}\]