最初に \(1\) の目が上面にあるようにサイコロが置かれている. その後, \(4\) つの側面から \(1\) つの面を無作為に選び, その面が上面になるように置き直す操作を \(n\) 回繰り返す. なお, サイコロの向かい合う面の目の数の和は \(7\) である.
(1) 最後に \(1\) の目が上面にある確率を求めよ.
(2) 最後に上面にある目の数の期待値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(n\) 回の操作の後, \(1, 6\) , その他の目が上面にある確率を \(p _ n , q _ n , r _ n \ ( n \geqq 0 )\) とおくと \[\begin{align} p _ 0 & = 1 , \ q _ 0 +r _ 0 = 0 \\ p _ n & +q _ n +r _ n = 1 \quad ... [1] \end{align}\] また, \(n\) 回後から \(n+1\) 回後への変化を考えると \[ \left\{\begin{array}{ll} p _ {n+1} = \dfrac{1}{4} r _ n \\ q _ {n+1} = \dfrac{1}{4} r _ n \\ r _ {n+1} = p _ n +q _ n +\dfrac{1}{2} r _ n \end{array} \right. \] したがって, [1] を用いて \[\begin{align} r _ {n+1} & =1 -r _ n +\dfrac{1}{2} r _ {n+1} \\ \text{∴} \quad r _ {n+1} -\dfrac{2}{3} & = -\dfrac{1}{2} \left( r _ n -\dfrac{2}{3} \right) \end{align}\] なので \[\begin{align} r _ n -\dfrac{2}{3} & =\left( -\dfrac{1}{2} \right)^n \left( r _ 0 -\dfrac{2}{3} \right) \\ \text{∴} \quad r _ n & = \dfrac{2}{3} \left\{ 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^n \right\} \end{align}\] よって, \(n \geqq 1\) に対して \[ p _ n = \dfrac{1}{4} r _ {n-1} = \underline{\dfrac{1}{6} \left\{ 1 - \left( \dfrac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}} \]
(2)
\(2\) ～ \(5\) の目が上面になる確率は等しいので, 求める期待値 \(E\) は \[\begin{align} E & = 1 \cdot p _ n +(2+3+4+5) \cdot \dfrac{1}{4} r _ n +6 \cdot q _ n \\ & = 7 p _ n +\dfrac{7}{2} ( 1-2p _ n ) \\ & =\underline{\dfrac{7}{2}} \end{align}\]