原点を O とする \(xy\) 平面上に, 放物線 \(C\) ： \(y = 1-x^2\) がある. \(C\) 上に \(2\) 点 P \(( p , 1-p^2 )\) , Q \(( q , 1-q^2 )\) を \(p \lt q\) となるようにとる.
(1) \(2\) つの線分 OP , OQ と放物線 \(C\) で囲まれた部分の面積 \(S\) を, \(p\) と \(q\) の式で表せ.
(2) \(q = p+1\) であるとき \(S\) の最小値を求めよ.
(3) \(pq = -1\) であるとき \(S\) の最小値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
直線 PQ の式は
\[\begin{align}
y & = \dfrac{(1-q^2) -(1-p^2)}{q-p} (x-p) +1-p^2 \\
& = -(p+q) (x-p) +1-p^2 \\
& = -(p+q) x +1+pq
\end{align}\]
線分 PQ と放物線 \(C\) に囲まれる部分 \(D\) の面積を \(S _ 1\) , △OPQ の面積を \(S _ 2\) とおく.
\(S _ 1\) について
\[\begin{align}
S _ 1 & = \displaystyle\int _ {p}^{q} \left[ (1-x^2) -\left\{ -(p+q) x +1-pq \right\} \right] \, dx \\
& = -\displaystyle\int _ {p}^{q} (x-p)(x-q) \, dx \\
& = \dfrac{1}{6} (q-p)^3
\end{align}\]
\(S _ 2\) について
\[\begin{align}
S _ 2 & = \dfrac{1}{2} \left| p(1-q^2) -q(1-p^2) \right| \\
& = \dfrac{1}{2} \left| p-q +pq(p-q) \right| \\
& = \dfrac{1}{2} (q-p) \left| 1+pq \right|
\end{align}\]
ここで, 点 O と線分 PQ の位置関係で場合分けして考える.
1* O が PQ より上側にある, すなわち \(1+pq \geqq 0\) のとき \(S _ 2 = \dfrac{1}{2} (q-p)(1+pq)\) なので \[\begin{align} S & = S _ 1 +S _ 2 \\ & = \dfrac{1}{6} (q-p)^3 +\dfrac{1}{2} (q-p)(1+pq) \end{align}\]
2* O が PQ より下側にある, すなわち \(1+pq \lt 0\) のとき \(S _ 2 = -\dfrac{1}{2} (q-p)(1+pq)\) なので \[\begin{align} S & = S _ 1 -S _ 2 \\ & = \dfrac{1}{6} (q-p)^3 +\dfrac{1}{2} (q-p)(1+pq) \end{align}\]
以上より, いずれの場合も求める面積 \(S\) は \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{6} (q-p)^3 +\dfrac{1}{2} (q-p)(1+pq) \\ & = \dfrac{1}{6} (q-p) \left\{ (q-p)^2 +3(1+pq) \right\} \\ & = \underline{\dfrac{1}{6} (q-p)( p^2 +pq +q^2 +3 )} \end{align}\]
(2)
条件を (1) の結果に代入すれば \[\begin{align} S & = \dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{2} \left\{ 1 +p(p+1) \right\} \\ & = \dfrac{1}{2} p^2 +\dfrac{1}{2} p +\dfrac{2}{3} \\ & = \dfrac{1}{2} \left( p +\dfrac{1}{2} \right)^2 +\dfrac{13}{24} \end{align}\] よって, \(S\) は \(p = -\dfrac{1}{2}\) , \(q = \dfrac{1}{2}\) のとき, 最小値 \(\underline{\dfrac{13}{24}}\) をとる.
(3)
条件より, \(S _ 2 = 0\) なので
\[
S = \dfrac{1}{6} \left( q +\dfrac{1}{q} \right)^3
\]
\(pq \lt 0\) より, \(q \gt 0\) だから, 相加相乗平均の関係より
\[
q +\dfrac{1}{q} \geqq 2 \sqrt{ q \cdot \dfrac{1}{q} } = 2
\]
等号成立は, \(q = \dfrac{1}{q}\) すなわち \(q = 1\) のとき.
よって, \(S\) は, \(p = -1\) , \(q = 1\) のとき, 最小値 \(\dfrac{1}{6} \cdot 8 = \underline{\dfrac{4}{3}}\) をとる.