\(t\) を正の定数とする. 原点を O とする空間内に, \(2\) 点 A \(( 2t , 2t , 0 )\) , B \(( 0 , 0 , t )\) がある. また動点 P は \[ \overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} +\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} +\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{BP}} = 3 \] を満たすように動く. OP の最大値が \(3\) となるような \(t\) の値を求めよ.

【 解 答 】

\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{\text{OA}}\) , \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{\text{OB}}\) , \(\overrightarrow{p} = \overrightarrow{\text{OP}}\) とおくと \[\begin{align} \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} & = 0 \\ \left| \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right| & = t \sqrt{2^2 +2^2 +1} = 3t \end{align}\] これらを用いれば, 条件より \[\begin{align} \overrightarrow{p} \cdot \left( \overrightarrow{p} -\overrightarrow{a} \right) & +\overrightarrow{p} \cdot \left( \overrightarrow{p} -\overrightarrow{b} \right) +\left( \overrightarrow{p} -\overrightarrow{a} \right) \cdot \left( \overrightarrow{p} -\overrightarrow{b} \right) = 3 \\ 3 \left| \overrightarrow{p} \right|^2 & -2 \left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) \cdot \overrightarrow{p} +\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \\ & \left| \overrightarrow{p} \right|^2 -2 \dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}}{3} \cdot \overrightarrow{p} = 1 \\ & \left| \overrightarrow{p} -\dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}}{3} \right|^2 = \left| \dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}}{3} \right|^2 +1 \\ \text{∴} \quad & \left| \overrightarrow{p} -\dfrac{\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}}{3} \right|^2 = t^2 +1 \end{align}\] △OAB の重心を G \(\left( \dfrac{2t}{3} , \dfrac{2t}{3} , \dfrac{t}{3} \right)\) とおけば, 点 P は点 G を中心とする半径 \(\sqrt{t^2+1}\) の球面上を動く.
\(\text{OG} = t\) なので, OP の最大値は \[ t +\sqrt{t^2+1} \] よって, 条件をみたす \(t\) の値は \[\begin{align} t +\sqrt{t^2+1} & = 3 \\ t^2 +1 & = (3-t)^2 , \ 3-t \gt 0 \\ 6t & = 8 , \ t \lt 3 \\ \text{∴} \quad t & = \underline{\dfrac{4}{3}} \end{align}\]