数直線上の点Pを次の規則で移動させる. 一枚の硬貨を投げて, 表が出ればPを \(+1\) だけ移動させ, 裏が出ればPを原点に関して対称な点に移動させる. Pは初め原点にあるとし, 硬貨を \(n\) 回投げた後のPの座標を \(a_n\) とする.
- (1) \(a_3 = 0\) となる確率を求めよ.
- (2) \(a_4 = 1\) となる確率を求めよ.
- (3) \(n \geqq 3\) のとき, \(a_n = n-3\) となる確率を \(n\) を用いて表せ.
【 解 答 】
表, 裏が出ることをそれぞれH, Bと表すこととする.
(1)
\(a_3 = 0\) となるのは, 「BBB」「HBH」となるときのみなので, 求める確率は
\[
\dfrac{2}{2^3} = \underline{\dfrac{1}{4}}
\]
(2)
\(a_4 = 1\) となるのは
- \(a_3 = 0\) から, Hとなる場合
- \(a_3 = -1\) から, Bとなる場合
\(a_3 = 0\) となる確率は,
(1)の結果より, \(\dfrac{1}{4}\) .
\(a_3 = -1\) となるのは, 「BHB」となるときのみなので, その確率は
\[
\dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}
\]
よって, 求める確率は
\[
\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{2} = \underline{\dfrac{3}{16}}
\]
(3)
求める確率を \(p_n\) とおく.
\(n \geqq 4\) の場合について,
(2)と同様に考える.
\(a_n = n-3\) となるのは
- \(a_{n-1} = n-4\) から, Hとなる場合
- \(a_{n-1} = -(n-3)\) から, Bとなる場合
\(a_{n-1} = n-4\) となる確率は, \(p_{n-1}\) .
\(a_{n-1} = -(n-3)\) となるのは, 「BH…HB」となるときのみなので, その確率は, \(\dfrac{1}{2^{n-1}}\) .
したがって
\[ \begin{align}
p_n & = \dfrac{1}{2} p_{n-1} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2^{n-1}} \\
\text{∴} \quad 2^n p_n & = 2^{n-1} p_{n-1} +1
\end{align} \]
よって, これを繰返し用いれば
\[ \begin{align}
2^n p_n & = ( n-3 ) +2^3 p_3 = n-1 \\
\text{∴} \quad p_n & = \dfrac{n-1}{2^n}
\end{align} \]
これは, \(n = 3\) のときもみたしている.
よって, 求める確率は
\[
\underline{\dfrac{n-1}{2^n}}
\]