\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 以下の正の整数のうち, \(n\) との最大公約数が \(1\) となるものの個数を \(E(n)\) で表す. たとえば \[ E(2) = 1 , \ E(3) = 2 , \ E(4) = 2 , \ \cdots , \quad E(10) = 4 , \ \cdots \] である.
(1) \(E(1024)\) を求めよ.
(2) \(E(2015)\) を求めよ.
(3) \(m\) を正の整数とし, \(p\) と \(q\) を異なる素数とする. \(n = p^m q^m\) のとき \(\dfrac{E(n)}{n} \geqq \dfrac{1}{3}\) が成り立つことを示せ.
【 解 答 】
(1)
\(1024 = 2^{10}\) なので, \(2\) を素因数にもたない整数を数えればよいから \[ E(1024) = 1024 -\dfrac{1024}{2} = \underline{512} \]
(2)
\(2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31\) なので, \(5 , 13 , 31\) のいずれも素因数にもたない整数を数えればよいから \[\begin{align} E(2015) & = 2015 -\dfrac{2015}{5} -\dfrac{2015}{13} -\dfrac{2015}{31} \\ & \quad +\dfrac{2015}{5 \cdot 13} +\dfrac{2015}{5 \cdot 31} +\dfrac{2015}{13 \cdot 31} \\ & \qquad -\dfrac{2015}{5 \cdot 13 \cdot 31} \\ & = 2015 \left( 1 -\dfrac{1}{5} \right) \left( 1 -\dfrac{1}{13} \right) \left( 1 -\dfrac{1}{31} \right) \\ & = 4 \cdot 12 \cdot 30 \\ & = \underline{1440} \end{align}\]
(3)
\(p \lt q\) と仮定してよいので \[ p \geqq 2 , \ q \geqq 3 \quad ... [1] \] (2) と同様に考えれば \[ E(n) = n \left( 1 -\dfrac{1}{p} \right) \left( 1 -\dfrac{1}{q} \right) \] なので \[\begin{align} \dfrac{E(n)}{n} & = \left( 1 -\dfrac{1}{p} \right) \left( 1 -\dfrac{1}{q} \right) \\ & \geqq \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \quad ( \text{∵} \ [1] \ ) \\ & = \dfrac{1}{3} \end{align}\]