座標平面上の動点 Q が以下の規則 (a) ～ (f) に従って \(1\) 秒ごとに移動する.
(a) 原点 \((0,0)\) を出発点とし, まず点 \((1,0)\) または点 \((0,1)\) または点 \((0,-1)\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{3}\) で移動する.
(b) ある時刻に点 \(( x-1 , y )\) から点 \(( x , y )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x+1 , y )\) または点 \(( x , y+1 )\) または点 \(( x , y-1 )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{3}\) で移動する.
(c) ある時刻に点 \(( x , 0 )\) から点 \(( x , 1 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x , 2 )\) または点 \(( x+1 , y )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で移動する.
(d) ある時刻に点 \(( x , 0 )\) から点 \(( x , -1 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x , -2 )\) または点 \(( x+1 , -1 )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で移動する.
(e) ある時刻に点 \(( x , 1 )\) または点 \(( x , -1 )\) から点 \(( x , 0 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x+1 , 0 )\) に移動する.
(f) 直線 \(y = 2\) 上の点または直線 \(y = -2\) 上の点に達した場合には停止する.
このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(n\) を正の整数とするとき, Q がある時刻に点 \(( n-1 , 0 )\) に位置し, かつその \(1\) 秒後に点 \(( n , 0 )\) に移動している確率を \(p _ n\) とする. また Q がある時刻に点 \(( n-1 , 1 )\) に位置し, かつその \(1\) 秒後に点 \(( n , 1 )\) に移動している確率を \(p' _ n\) とする. \(p _ 1 , p _ 2 , p' _ 1 , p' _ 2\) をそれぞれ求めよ.
(2) Q が直線 \(x=2\) 上の点に達する確率, および直線 \(x=3\) 上の点に達する確率をそれぞれ求めよ.
(3) \(m\) を正の整数とするとき, Q が \(( m , 0 )\) に達する確率を \(m\) で表せ.
【 解 答 】
(1)
\(p _ 1\) について
Q が, 原点から「→」に動いたときなので \[ p _ 1 = \underline{\dfrac{1}{3}} \ . \]\(p' _ 1\) について
Q が, 原点から「↑→」に動いたときなので \[ p' _ 1 = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \underline{\dfrac{1}{6}} \ . \]\(p _ 2\) について
Q が, 原点から「→→」「↑→↓→」「↓→↑→」に動いたときなので, 規則の \(x\) 軸についての対称性から \[ p _ 2 = \dfrac{1}{3} p _ 1 +2 \cdot \dfrac{1}{3} p' _ 1 = \underline{\dfrac{2}{9}} \ . \]\(p' _ 2\) について
Q が, 原点から「↑→→」「→↑→」に動いたときなので \[ p' _ 2 = \dfrac{1}{3} p' _ 1 +\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} p _ 1 = \underline{\dfrac{1}{9}} \ . \]
(2)
\(x = 2\) に達する場合
これは, Q が点 \((0, \pm 2)\) または \((1 , \pm 2)\) に達する場合の余事象である.
点 \((0, \pm 2)\) に達する確率は \[ 2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \ . \] 点 \((1, \pm 2)\) に達する確率は \[ 2 \left( \dfrac{1}{3} p' _ 1 +\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} p _ 1 \right) = \dfrac{1}{9} \ . \] よって, 求める確率は \[ 1 -\left( \dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{9} \right) = \underline{\dfrac{4}{9}} \ . \]\(x=3\) に達する場合
これは, Q が点 \((k, \pm 2)\) （ \(k = 0, 1, 2\) ）に達する場合の余事象である.
点 \((2, \pm 2)\) に達する確率は \[ 2 \left( \dfrac{1}{3} p' _ 2 +\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} p _ 2 \right) = \dfrac{4}{27} \ . \] よって, 求める確率は \[ 1 -\left( \dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{9} +\dfrac{4}{27} \right) =\underline{\dfrac{8}{27}} \ . \]
(3)
求める確率を \(q _ m\) とおくと \[\begin{align} q _ m & = p _ m +2 \cdot \dfrac{1}{3} p' _ m \\ & = p _ m + \dfrac{2}{3} p' _ m \quad ... [1] \ . \end{align}\] また, (1) と同様に考えると \[\begin{align} p _ m & = \dfrac{1}{3} p _ {m-1} +\dfrac{2}{3} p' _ {m-1} \quad ... [2] , \\ p' _ m & = \dfrac{1}{6} p _ {m-1} +\dfrac{1}{3} p' _ {m-1} \quad ... [3] \ . \end{align}\] \([2] - [3] \times 2\) より \[\begin{align} p _ m -2p' _ m & = 0 \\ \text{∴} \quad p _ m & = 2p' _ m \quad ... [4] \ . \end{align}\] [3] に代入すれば \[ p' _ m = \dfrac{1}{6} \cdot 2 p' _ {m-1} +\dfrac{1}{3} p' _ {m-1} = \dfrac{2}{3} p' _ {m-1} \ . \] したがって, 数列 \(\{ p' _ m \}\) は初項 \(p' _ 1 = \dfrac{1}{6}\) , 公比 \(\dfrac{2}{3}\) の等比数列なので \[ p' _ m = \dfrac{1}{6} \left( \dfrac{2}{3} \right)^{m-1} \ . \] [4] より \[ p _ m = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2}{3} \right)^{m-1} \ . \] これらを [1] に代入して \[\begin{align} q _ m & = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{2}{3} \right)^{m-1} +\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{6} \left( \dfrac{2}{3} \right)^{m-1} \\ & = \underline{\left( \dfrac{2}{3} \right)^{m+1}} \ . \end{align}\]