座標空間内に \(5\) 点 \[ \text{P} \ (0,0,h) , \quad \text{Q} \ (t,0,0) , \quad \text{R} \ (0,t,0) , \quad \text{S} \ (-t,0,0) , \quad \text{T} \ (0,-t,0) \] をとる. ここで \(t , h\) は \(0 \lt t \lt 1 , \ h \gt 0\) を満たす実数である. また点 A \((1,1,0)\) と点 Q を結ぶ線分の長さは線分 PQ の長さと等しいとする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 四角錘 PQRST の表面積を \(t\) を用いて表せ.
(2) \(h\) を \(t\) を用いて表せ.
(3) \(t\) が \(0 \lt t \lt 1\) の範囲で変化するとき, 四角錘 PQRST の体積の最大値を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\(\text{AQ} = \text{PQ} = \text{PR} = \text{PS} = \text{PT}\) なので, 四角錘 PQRST の展開図は下図のようになる.
よって, 求める表面積 \(S\) は \[ S = 2^2 -4 \cdot \dfrac{1}{2} (1-t) \cdot 2 = \underline{4t} \]
(2)
\(\text{AQ} = \text{PQ}\) より \[\begin{align} (1-t)^2 +1^2 = t^2 +h^2 \\ \text{∴} \quad h = \underline{\sqrt{2(1-t)}} \end{align}\]
(3)
四角錘の体積 \(V\) は \[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (2t)^2 \cdot \sqrt{2(1-t)} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \sqrt{t^4 -t^5} \] \(f(t) = t^4-t^5\) とおけば \[ f'(t) = 4t^3 -5t^4 =t^3 (4 -5t) \] \(0 \lt t \lt 1\) において \(f'(t) = 0\) を解くと \[ t = \dfrac{4}{5} \] したがって, \(f(t)\) の増減表は下のとおり. \[ \begin{array}{c|ccccc} t & (0) & \cdots & \dfrac{4}{5} & \cdots & (1) \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & \\ \hline f(t) & & \nearrow & \text{最大} & \searrow & \end{array} \] なので, \(f(t)\) の最大値は \[ f \left( \dfrac{4}{5} \right) = \dfrac{4^4}{5^4} \left( 1 -\dfrac{4}{5} \right) = \dfrac{4^4}{5^5} \] よって, \(V\) の最大値は \[\begin{align} \dfrac{2 \sqrt{2}}{3} \sqrt{f \left( \dfrac{4}{5} \right)} & = \dfrac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \dfrac{4^2}{5^2 \sqrt{5}} \\ & = \underline{\dfrac{32 \sqrt{10}}{375}} \end{align}\]