座標平面または座標空間において, 座標成分がすべて整数である点を格子点という. 以下の各問いに答えよ.
(1) \(C _ 1\) を座標平面上の半径 \(0.5\) の円とする. \(C _ 1\) が内部に格子点を含まないとき, \(C _ 1\) の中心 \((x, y)\) が存在しうる領域を \(0 \leqq x \leqq 2\) , \(0 \leqq y \leqq 2\) の範囲で図示せよ.
(2) \(C _ 2\) を座標平面上の半径 \(0.75\) の円とする. \(C _ 2\) は中心をどのような位置に移動させても必ず内部に格子点を含むことを示せ.
(3) \(S\) を座標空間内の半径 \(r\) の球とする. \(S\) は半径を変化させずに中心をどのような位置に移動させても, 必ず内部に格子点を含むとする. このとき \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ. ここで \(S\) の内部とは, \(S\) からの距離が \(r\) より小さい点全体からなる集合のことである.
【 解 答 】
(1)
\(C _ 1\) が内部に格子点を含むとき, \(C _ 1\) の中心は, 格子点を中心とする半径 \(0.5\) の円の内部となる.
よって求める領域は, 格子点を中心とする半径 \(0.5\) の円の外部で, 下図斜線部（境界を含む）
(2)
(1) と同様に考えると, \(C _ 2\) が内部に格子点を含まない領域は, 「 格子点を中心とした半径 \(0.75\) の円の外部 」 ... [A] となる.
しかし, 格子点に囲まれた \(1\) 辺の長さ \(1\) の正方形を考えたとき, 対角線の長さ \(\sqrt{2}\) に対して
\[
\sqrt{2} \lt 2 \cdot 0.75 = 1.5
\]
なので, [A] のような領域は存在しない.
よって, 題意は示された.
(3)
(2) と同様に考える.
\(S\) が内部に格子点を含まない領域は, 「 格子点を中心とした半径 \(r\) の球の外部 」 ... [B] となる.
格子点に囲まれた \(1\) 辺の長さ \(1\) の立方体に, 領域 [B] が存在しない条件は, 立方体の対角線の長さに着目して
\[\begin{gather}
\sqrt{3} \lt 2r \\
\text{∴} \quad \underline{r \gt \dfrac{\sqrt{3}}{2}}
\end{gather}\]