正の実数 \(a , b , c\) を係数とする \(2\) 次式 \(f(x)=ax^2+bx+c\) に関して, 次の条件 C を考える.
- 条件 C： \(3\) で割り切れないすべての整数 \(x\) について \(f(x)\) が整数になる.
このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) が条件 C を満たすとき, \(g(x) = f(x+3) -f(x)\) は係数および定数項が整数となる \(1\) 次式であることを示せ.
(2) 条件 C を満たす \(f(x)\) のうち, \(f(1) = 1\) となるものを求めよ.
(3) 以下の条件 C' が条件 C と同値となるような自然数の組 \((m _ 1, m _ 2, m _ 3)\) のうち, \(m _ 1+m _ 2+m _ 3\) が最小となるものを求めよ.
- 条件C'： \(m _ 1b , \ m _ 2b , \ m _ 3b , \ a+b+c\) がいずれも整数となる.
(4) \(n\) を自然数とする. 条件 C を満たす \(f(x)\) のうち, \(f(1) = n\) となるものの個数を \(n\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
g(x) & = f(x+3) -f(x) \\
& = a(x+3)^2 +b(x+3) +c -ax^2 -bx -c \\
& = 6ax +3(3a+b)
\end{align}\]
ここで
\[\begin{align}
h(x) & = f(x+1) -f(x) \\
& =a(x+1)^2 +b(x+1) +c -ax^2 -bx -c \\
& = 2ax +a+b
\end{align}\]
とおくと, 条件 C より, \(k= 0, 1, 2, \cdots\) に対して
\[
h(3k+1) = 6ak +(3a+b)
\]
が整数となるので, \(6a , 3a+b\) はともに整数となる.
よって, \(3(3a+b)\) も整数となるので, 題意は示された.
(2)
\[
f(1) = a+b+c = 1 \quad ... [1]
\]
条件より, \(0 \lt a \lt 1 , \ 0 \lt b \lt 1 , \ 0 \lt c \lt 1 \quad ... [2]\) .
(1) の結果より, \(6a\) が整数となるので, [2] より \(a = \dfrac{\ell}{6} \ ( \ell = 1, 2, \cdots, 5 )\) と表せる.
また, \(3a+b =A\) （ \(A\) は整数）とおけば
\[
b = A-3b = A -\dfrac{\ell}{2}
\]
これが [2] をみたすのは, \(\ell =1\) のときに限られる.
したがって, [1] より
\[
c = 1 -\dfrac{1}{6} -\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}
\]
以上より, 求める \(f(x)\) は
\[
f(x) = \underline{\dfrac{x^2}{6} +\dfrac{x}{2} +\dfrac{1}{3}}
\]
(3)
\(f(x) = 1\) となる \(f(x)\) について, \((m _ 1, m _ 2, m _ 3)\) の組を考える.
このとき, [1] より, \(a+b+c\) は整数である.
また
\[
m _ 1 b = \dfrac{m _ 1}{2}
\]
これが整数となる最小の \(m _ 1\) は, \(m _ 1 =2\) .
さらに
\[
m _ 2a+m _ 3b =\dfrac{m _ 2 +3m _ 3}{6}
\]
これが整数となる場合を \(m _ 2 +m _ 3\) が小さい順に探していくと
\(m _ 2+m _ 3=2\) のとき
\(( m _ 2 , m _ 3 ) = ( 1, 1 )\) が候補であるが, 整数とならず不適.\(m _ 2+m _ 3=3\) のとき
\(( m _ 2 , m _ 3 ) = ( 2, 1 ) , ( 1, 2 )\) が候補であるが, いずれも整数とならず不適.\(m _ 2+m _ 3=4\) のとき
\(( m _ 2 , m _ 3 ) = ( 3, 1 ) , ( 2, 2 ) , ( 1, 3 )\) が候補である.
このうち, \(( m _ 2 , m _ 3 ) = (3 , 1)\) のみ整数となる.
以上より, 条件 C' における候補は
\[
( m _ 1, m _ 2, m _ 3 ) =( 2 , 3, 1 )
\]
逆にこのとき, 条件 C が成立するかを確認する.
\(p =2b\) , \(q=3a+b\) , \(r=a+b+c\) （ \(p , q , r\) は自然数）...[3] とおくと
\[\begin{align}
f(1) & = a+b+c =r , \\
f(2) & = 4a+2b+c = (a+b+c) +(3a+b) = q+r , \\
f(x+3) -f(x) & = g(x) \\
& = \left\{ 2(3a+b) -2b \right\}x +3(3a+b) = (2q-p)x +3q
\end{align}\]
これらはすべて整数となり, 帰納的に条件 C が成立する.
よって, 求める \(( m _ 1, m _ 2, m _ 3 )\) の組は
\[
( m _ 1, m _ 2, m _ 3 ) = \underline{( 2 , 3 , 1 )}
\]
(4)
(3) の結果より, 条件 C' を満たす \(f(x)\) について考えればよい.
条件より
\[
f(1) = a+b+c =r = n
\]
[3] と, \(0 \lt a \lt n , \ 0 \lt b \lt n , \ 0 \lt c \lt n\) であることから
\(0 \lt a+b \lt n\) なので \[\begin{align} 0 & \lt 3(a+b) = p+q \lt 3n \\ \text{∴} \quad 0 & \lt q \lt -p+3n \quad ... [4] \end{align}\]
\(2b = p\) なので \[ 0 \lt p \lt 2n \quad ... [5] \]
\(3a = q-b = q -\dfrac{p}{2}\) なので \[ \dfrac{p}{2} \lt q \lt \dfrac{p}{2} +3n \quad ... [6] \]
この領域を図示すると下図斜線部（境界は含まない）となる.
この領域に含まれ, かつ \(q = k \ ( k= 1, 2, \cdots , 3n-1 )\) 上にある格子点の個数を数えればよい.
よって, 求める個数は
\[\begin{align}
\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} (2k-1) & +\textstyle\sum\limits _ {k=n}^{3n-1} (3n -k-1) \\
& = 2 \cdot \dfrac{n(n-1)}{2} -(n-1) +\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{2n} (k-1) \\
& = (n-1)^2 +\dfrac{2n(2n-1)}{2} \\
& = \underline{3n^2-3n+1}
\end{align}\]