関数 \(f(x) = \sin 2x +a \cos x\) について, 以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) が区間 \(-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) の相異なる \(2\) 点で極値を取るような, \(a\) の値の範囲を求めよ.
(2) \(a\) が (1) で求めた範囲にあるとき, \(\displaystyle\int _ {-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \big| f(x) \big| \, dx\) を \(a\) を用いて表せ.
(3) \(a\) が (1) で求めた範囲にあるとき, \(f(x)\) が極値を取る \(x\) の値を \(x = \alpha , \beta \ \left( \text{ただし} -\dfrac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2} \right) \quad\) とする. \(\displaystyle\int _ {\alpha}^{\beta} \big| f(x) \big| \, dx\) を \(a\) を用いて表せ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align}
f'(x) & = 2 \cos 2x -a \sin x \\
& = -\left( 4 \sin^2 x +a \sin x -2 \right)
\end{align}\]
\(t = \sin x\) とおくと, \(-\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) のとき, \(t\) は単調増加で, \(-1 \lt t \lt 1\) .
したがって, \(g(t) = 4t^2 +at -2 \quad ... [1]\) とおいて, \(g(t) = 0\) が \(-1 \lt t \lt 1\) に異なる \(2\) つの実数解をもつ条件を求めればよい.
判別式を \(D\) とすると
\[
D = a^2+8 \gt 0
\]
なので, 求める条件は
\(g(-1) = -a+2 \gt 0\)
\(g(1) =a+2 >0\)
軸について： \(-1 \lt -\dfrac{a}{8} \lt 1\)
よって \[ \underline{-2 \lt a \lt 2} \]
(2)
\[ f \left( -\dfrac{\pi}{2} \right) = -1 , \ f(0) = a , \ f \left( \dfrac{\pi}{2} \right) = 1 \] なので, (1) のとき, \(y = f(x)\) の概形は下図のようになる.
\(f( \gamma ) = 0\) なる \(\gamma \ \left( -\dfrac{\pi}{2} \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) をおくと \[\begin{align} f( \gamma ) & = \sin 2\gamma +a\cos \gamma \\ & = \left( 2\sin \gamma +a \right) \cos \gamma = 0 \\ \text{∴} \quad & \sin \gamma = -\dfrac{a}{2} \quad ... [2] \end{align}\] また \[\begin{align} F(x) & = \displaystyle\int f(x) \, dx \\ & = -\dfrac{\cos 2x}{2} +a\sin x +C \quad ( \ C \text{は積分定数} ) \\ & = \sin^2 x +a \sin x -\dfrac{1}{2} +C \end{align}\] とおくと, 求める面積は \[\begin{align} \displaystyle\int _ {-\frac{\pi}{2}}^{\gamma} & f(x) \, dx +\displaystyle\int _ {\gamma}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \\ & = F \left( -\dfrac{\pi}{2} \right) +F \left( \dfrac{\pi}{2} \right) -2 F\left( \gamma \right) \\ & = \left( -a+\dfrac{1}{2} \right) +\left( a+\dfrac{1}{2} \right) -2 \left( \dfrac{a^2}{4} -a \cdot \dfrac{a}{2} -\dfrac{1}{2} \right) \\ & = 1 +\dfrac{a^2}{2} +1 \\ & = \underline{\dfrac{a^2}{2} +2} \end{align}\]
(3)
\(\sin \alpha , \ \sin \beta\) は方程式 [1] の解なので, 解と係数の関係より \[ \sin \alpha +\sin \beta = -\dfrac{a}{4} , \ \sin \alpha \sin \beta = -\dfrac{1}{2} \] これを用いれば, 求める面積は \[\begin{align} \displaystyle\int _ {\alpha}^{\gamma} & f(x) \, dx +\displaystyle\int _ {\gamma}^{\beta} f(x) \, dx \\ & = F \left( \alpha \right) +F \left( \beta \right) -2 F\left( \gamma \right) \\ & = \sin^2 \alpha +a\sin \alpha -\dfrac{1}{2} +\sin^2 \beta +a\sin \beta \\ & \qquad -\dfrac{1}{2} -2 \left( \dfrac{a^2}{4} -a \cdot \dfrac{a}{2} -\dfrac{1}{2} \right) \\ & = \left( \sin \alpha +\sin \beta \right)^2 -2\sin \alpha \sin \beta +a \left( \sin \alpha +\sin \beta \right) +\dfrac{a^2}{2} \\ & = \dfrac{a^2}{16} +1 +\dfrac{a^2}{4} \\ & = \underline{\dfrac{5a^2}{16} +1} \end{align}\]