座標空間において, \(8\) 点 O \(( 0, 0, 0 )\) , A \(( 1, 0, 0 )\) , B \(( 0, 1, 0 )\) , C \(( 0, 0, 1 )\) , D \(( 0, 1, 1 )\) , E \(( 1, 0, 1 )\) , F \(( 1, 1, 0 )\) , G \(( 1, 1, 1 )\) をとり, この \(8\) 点を頂点とする立方体を \(Q\) とする. また点 P \(( x , y , z )\) と正の実数 \(t\) に対し, \(6\) 点 \(( x+t , y , z )\) , \(( x-t , y , z )\) , \(( x , y+t , z )\) , \(( x , y-t , z )\) , \(( x , y , z+t )\) , \(( x , y , z-t )\) を頂点とする正八面体を \(\alpha _ t ( \text{P} )\) , その外部の領域を \(\beta _ t ( \text{P} )\) で表す. ただし, 立方体および正八面体は内部の領域も含むものとする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(0 \lt t \leqq 1\) のとき, \(Q \cap \beta _ t ( \text{O} ) \cap \beta _ t ( \text{D} ) \cap \beta _ t ( \text{E} ) \cap \beta _ t ( \text{F} )\) の体積, すなわち \(5\) 個の領域 \(Q\) , \(\beta _ t ( \text{O} ) , \beta _ t ( \text{D} ) , \beta _ t ( \text{E} ) , \beta _ t ( \text{F} )\) の共通部分の体積を求めよ.
(2) \(Q \cap \alpha _ 1 ( \text{O} ) \cap \beta _ 1 ( \text{A} ) \cap \beta _ 1 ( \text{B} ) \cap \beta _ 1 ( \text{C} )\) の体積を求めよ.
(3) \(0 \lt t \leqq 1\) のとき \[ Q \cap \beta _ t ( \text{O} ) \cap \beta _ t ( \text{A} ) \cap \beta _ t ( \text{B} ) \cap \beta _ t ( \text{C} ) \cap \beta _ t ( \text{D} ) \cap \beta _ t ( \text{E} ) \cap \beta _ t ( \text{F} ) \cap \beta _ t ( \text{G} ) \] の体積を \(t\) で表せ.
【 解 答 】
(1)
与えられた領域は立方体から下図の四面体 \(R _ t\) を \(4\) つ除いた立体なので, 求める体積は
\[ 1^3 -4 \cdot \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} t^2 \right) t = \underline{1 -\dfrac{2}{3} t^3} \]
(2)
\(\alpha _ 1 ( \text{O} ) \cap \alpha _ 1 ( \text{A} )\) の領域を \(T _ 1\) とする.
これは \(R _ 1\) に対して相似比 \(\dfrac{1}{2}\) の立体を \(2\) つつなげた立体である.
したがってその体積は \[ 2 \left( \dfrac{1}{2} \right)^3 \dfrac{1}{6} \cdot 1^3 = \dfrac{1}{24} \] 与えられた領域は, \(R _ 1\) から \(T _ 1\) を \(3\) つ除いた立体なので, 求める体積は \[ \dfrac{1}{6} -3 \cdot \dfrac{1}{24} = \underline{\dfrac{1}{24}} \]
(3)
1* \(0 \lt t \leqq \dfrac{1}{2}\) のとき
与えられた領域は立方体から \(R _ t\) を \(8\) つ除いた立体なので, 求める体積は \[ 1^3 -8 \cdot \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} t^2 \right) t = 1 -\dfrac{4}{3} t^3 \]2* \(\dfrac{1}{2} \lt t \leqq 1\) のとき
\(\alpha _ t ( \text{O} ) \cap \alpha _ t ( \text{A} )\) の領域を \(T _ t\) とする.
これは \(T _ 1\) に対して相似比 \(2t -1\) の立体である.
したがって, その体積は \[ \dfrac{1}{24} (2t-1)^3 \] 与えられた領域は立方体から \(R _ t\) を \(8\) つ除き, 重複して除いた部分, すなわち \(T _ t\) を \(12\) 個を加えた立体なので, 求める体積は \[\begin{align} 1^3 & -8 \cdot \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{2} t^2 \right) t +12 \cdot \dfrac{1}{24} (2t-1)^3 \\ & = 1 -\dfrac{4}{3} t^3 +\dfrac{1}{2} (2t-1)^3 \end{align}\]
1* 2* より \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} 1 -\dfrac{4}{3} t^3 & \left( \ 0 \lt t \leqq \dfrac{1}{2} \text{のとき} \right) \\ 1 -\dfrac{4}{3} t^3 +\dfrac{1}{2} (2t-1)^3 & \left( \ \dfrac{1}{2} \lt t \leqq 1 \text{のとき} \right) \end{array} \right. } \]