数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を次のように定義する. \[ \left\{ \begin{array}{ll} a _ 1 =5 , \ b _ 1 =3 , & \\ \left( \begin{array}{c} a _ {n+1} \\ b _ {n+1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 3 & 5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a _ n \\ b _ n \end{array} \right) & (n=1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \right. \] また, 自然数 \(n\) について \(c _ n ={a _ n}^2 -{b _ n}^2\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(c _ n\) を \(n\) を用いて表せ.
(2) \(k\) を自然数とするとき, 自然数 \(\ell\) について \[ a _ {k+\ell} =a _ k a _ {\ell} +b _ k b _ {\ell} , \ b _ {k+\ell} =b _ k a _ {\ell} +a _ k b _ {\ell} \] が成立することを, \(\ell\) に関する数学的帰納法によって示せ.
(3) \(n \gt \ell\) となる自然数 \(n , \ell\) について \[ b _ {n+\ell} -c _ {\ell} b _ {n-\ell} = 2a _ n b _ {\ell} \] が成立することを示せ.
(4) \(2\) 以上の自然数 \(n\) について \[ a _ {2n} +\textstyle\sum\limits _ {m=1}^{n-1} c _ {n-m} a _ {2m} =\dfrac{b _ {2n+1}}{2b _ 1} -\dfrac{c _ n}{2} \] が成立することを示せ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[ a _ {n+1} = 5a _ n +3b _ n , \ b _ {n+1} = 3a _ n +5b _ n \] なので \[\begin{align} c _ {n+1} & = {a _ {n+1}}^2 -{b _ {n+1}}^2 \\ & = \left( 5a _ n +3b _ n \right)^2 -\left( 3a _ n +5b _ n \right)^2 \\ & = 16{a _ n}^2 -16{b _ n}^2 = 16c _ n \end{align}\] \(c _ 1 = 5^2 -3^2 = 16\) なので \[ c _ n =\underline{16^n} \]
(2)
\[ a _ {k+\ell} = a _ k a _ {\ell} +b _ k b _ {\ell} , \ b _ {k+\ell} =b _ k a _ {\ell} +a _ k b _ {\ell} \quad ... [\text{P}] \] とおく.
1* \(\ell =1\) のとき
条件より \[\begin{align} a _ {k+1} & = 5a _ k +3b _ k = a _ k a _ 1 +b _ k b _ 1 , \\ b _ {k+1} & = 3a _ k +5b _ k = a _ k b _ 1 +b _ k a _ 1 \\ \end{align}\] なので, [P] が成立する.2* \(\ell =m \ ( m \geqq 1 )\) のとき
[P] が成立すると仮定すると \[\begin{align} a _ {k+m+1} & = 5a _ {k+m} +3b _ {k+m} \\ & = 5 a _ k a _ m +5 b _ k b _ m +3 b _ k a _ m +3 a _ k b _ m \\ & = a _ k \left( 5a _ m +3b _ m \right) +b _ k \left( 3a _ m +5b _ m \right) \\ & = a _ k a _ {m+1} +b _ k b _ {m+1} , \\ b _ {k+m+1} & = 3a _ {k+m} +5b _ {k+m} \\ & = 3 a _ k a _ m +3 b _ k b _ m +5 b _ k a _ m +5 a _ k b _ m \\ & = a _ k \left( 3a _ m +5b _ m \right) +b _ k \left( 5a _ m +3b _ m \right) \\ & = a _ k b _ {m+1} +b _ k a _ {m+1} \end{align}\] したがって, \(\ell =m+1\) のときも [P] が成立する.
1* 2* より, 数学的帰納法より題意は示された.
(3)
\[\begin{align} b _ {2\ell +k} & -c _ {\ell} b _ k \\ & = b _ {\ell} a _ {\ell +k} +a _ {\ell} b _ {\ell +k} -\left( {a _ {\ell}}^2 -{b _ {\ell}}^2 \right) b _ k \\ & = b _ {\ell} \left( a _ k a _ {\ell} +b _ k b _ {\ell} \right) +a _ {\ell} \left( b _ k a _ {\ell} +a _ k b _ {\ell} \right) -\left( {a _ {\ell}}^2 -{b _ {\ell}}^2 \right) b _ k \\ & = 2 \left( a _ k a _ {\ell} +b _ k b _ {\ell} \right) b _ {\ell} \\ & = 2 a _ {\ell +k} b _ {\ell} \end{align}\] よって, \(n =\ell +k\) とおけば \[ b _ {n+\ell} -c _ {\ell} b _ {n-\ell} = 2 a _ n b _ {\ell} \]
(4)
(3) の結果より \[ b _ {2m+1} -c _ 1 b _ {2m-1} = 2a _ {2m} b _ 1 \] 両辺に \(c _ {n-m} =16^{n-m}\) をかけると \[\begin{align} c _ {n-m} b _ {2m+1} -c _ {n-m+1} b _ {2m-1} & = 2 c _ {n-m} a _ {2m} b _ 1 \\ \text{∴} \quad c _ {n-m} b _ {2m+1} -c _ {n-(m-1)} b _ {2(m-1)+1} & = 2 c _ {n-m} a _ {2m} b _ 1 \end{align}\] これに, \(m=1 , 2 , \cdots , n\) を代入したものを辺々加えると, 左辺の項は相殺されて \[\begin{align} b _ {2n+1} -c _ n b _ 1 & = 2 b _ 1 \textstyle\sum\limits _ {m=1}^n c _ {n-m} a _ {2m} \\ \text{∴} \quad a _ {2n} +\textstyle\sum\limits _ {m=1}^{n-1} c _ {n-m} a _ {2m} & = \dfrac{b _ {2n+1}}{2 b _ 1} -\dfrac{c _ n}{2} \end{align}\]