関数 \(f(x) =x^3-x^2+x\) について, 以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) はつねに増加する関数であることを示せ.
(2) \(f(x)\) の逆関数を \(g(x)\) とおく. \(x \gt 0\) について \[ \sqrt[3]{x} -1 \lt g(x) \lt \sqrt[3]{x} +1 \] が成立することを示せ.
(3) \(b \gt a \gt 0\) について \[ 0 \lt \displaystyle\int _ a^b \dfrac{1}{x^2+1} \, dx \lt \dfrac{1}{a} \] が成立することを示せ.
(4) 自然数 \(n\) について, (2) で定義された \(g(x)\) を用いて \[ A _ n =\displaystyle\int _ n^{2n} \dfrac{1}{\{ g(x) \}^3 +g(x)} \, dx \] とおくとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} A _ n\) を求めよ.
【 解 答 】
(1)
\[\begin{align} f'(x) & = 3x^2 -2x +1 \\ & =3 \left( x -\dfrac{1}{3} \right)^2 +\dfrac{2}{3} \gt 0 \end{align}\] よって, \(f(x)\) は単調増加関数である.
(2)
\(y = g(x)\) とおくと, \(x = f(y)\) .
示すべき不等式を変形すると
\[\begin{align}
\sqrt[3]{f(y)} -1 & \lt y \lt \sqrt[3]{f(y)} +1 \\
y-1 & \lt \sqrt[3]{f(y)} \lt y+1 \\
\text{∴} \quad (y-1)^3 & \lt f(y) \lt (y+1)^3 \quad ... [\text{A}]
\end{align}\]
したがって, [A] を示せばよい.
\[\begin{align}
f(y) -(y-1)^3 & = 4y^2 -2y +1 \\
& = 4 \left( y -\dfrac{1}{4} \right)^2 +\dfrac{3}{4} \gt 0 , \\
(y+1)^3 -f(y) & = 4y^2 +2y +1 \\
& = 4 \left( y +\dfrac{1}{4} \right)^2 +\dfrac{3}{4} \gt 0
\end{align}\]
よって, [A] が示されて, 題意も示された.
(3)
\(I =\displaystyle\int _ a^b \dfrac{1}{x^2+1} \, dx\) とおく.
\(a \lt x \lt b\) において
\[
0 \lt \dfrac{1}{x^2+1} \lt \dfrac{1}{x^2}
\]
なので
\[
I \gt 0
\]
また
\[\begin{align}
I & \lt \displaystyle\int _ a^b \dfrac{1}{x^2} \, dx = \left[ -\dfrac{1}{x} \right] _ a^b \\
& = \dfrac{1}{a} -\dfrac{1}{b} \lt \dfrac{1}{a}
\end{align}\]
よって
\[
0 \lt I \lt \dfrac{1}{a}
\]
(4)
(2) と同様に, \(y = g(x)\) とおくと \[\begin{align} A _ n & = \displaystyle\int _ {g(n)}^{g(2n)} \dfrac{1}{y^3+y} \cdot f'(y) \, dy \\ & = \displaystyle\int _ {g(n)}^{g(2n)} \dfrac{3y^2 -2y +1}{y^3+y} \, dy \\ & = \displaystyle\int _ {g(n)}^{g(2n)} \left( \dfrac{2y-2}{y^2+1} +\dfrac{1}{y} \right) \, dy \\ & = \left[ \log y +\log (y^2+1) \right] _ {g(n)}^{g(2n)} -2 \displaystyle\int _ {g(n)}^{g(2n)} \dfrac{1}{y^2+1} \, dy \\ & = \log \underline{\dfrac{g(2n) \left[ \left\{ g(2n) \right\}^2 +1 \right]}{g(n) \left[ \left\{ g(n) \right\}^2 +1 \right]}} _ {[2]} -2 \underline{\displaystyle\int _ {g(n)}^{g(2n)} \dfrac{1}{y^2+1} \, dy} _ {[3]} \\ \end{align}\] [2] について, (2) の結果より \[\begin{align} \dfrac{\sqrt[3]{2n} -1}{\sqrt[3]{n} +1} & \lt \dfrac{g(2n)}{g(n)} \lt \dfrac{\sqrt[3]{2n} +1}{\sqrt[3]{n} -1} \\ \text{∴} \quad \dfrac{\sqrt[3]{2} -\frac{1}{\sqrt[3]{n}}}{1 +\frac{1}{\sqrt[3]{n}}} & \lt \dfrac{g(2n)}{g(n)} \lt \dfrac{\sqrt[3]{2} +\frac{1}{\sqrt[3]{n}}}{1 -\frac{1}{\sqrt[3]{n}}} \end{align}\] \(n \rightarrow \infty\) のとき, 第 \(1\) 辺と第 \(3\) 辺はともに \(\sqrt[3]{2}\) に収束するので, はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{g(2n)}{g(n)} = \sqrt[3]{2} \quad ... [4] \] これを用いれば \[\begin{align} [2] & = \dfrac{g(2n)}{g(n)} \cdot \dfrac{\left\{ \frac{g(2n)}{g(n)} \right\}^2 +\frac{1}{\{ g(n) \}^2}}{1 +\frac{1}{\{ g(n) \}^2}} \\ & \rightarrow \sqrt[3]{2} \cdot \left\{ \sqrt[3]{2} \right\}^2 = 2 \quad ( \ n \rightarrow \infty \text{のとき} ) \end{align}\] [3] について, (2) (3) の結果を用いれば \[ 0 \lt [3] \lt \dfrac{1}{g(n)} \lt \dfrac{1}{\sqrt[3]{n} -1} \] \(n \rightarrow \infty\) のとき, 最右辺は \(0\) に収束するので はさみうちの原理より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} [3] = 0 \quad ... [5] \] よって, [4] [5] より \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} A _ n = \log 2 -2 \cdot 0 =\underline{\log 2} \]