以下の各問いに答えよ.
(1) 実数 \(\alpha , \beta\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\tan \alpha \tan \beta = 1\) を満たすとき, \(\alpha +\beta\) の値を求めよ.
(2) 実数 \(\alpha , \beta , \gamma\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\alpha +\beta +\gamma = \dfrac{\pi}{2}\) を満たすとき, \[ \tan \alpha \tan \beta +\tan \beta \tan \gamma +\tan \gamma \tan \alpha \] の値は一定であることを示せ.
(3) 実数 \(\alpha , \beta , \gamma\) が \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \gamma \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(\alpha +\beta +\gamma = \dfrac{\pi}{2}\) を満たすとき, \[ \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma \] のとりうる値の範囲を求めよ.
【 解 答 】
(1)
条件より \[ \tan \beta = \dfrac{1}{\tan \alpha} = \tan \left( \dfrac{\pi}{2} -\alpha \right) \ . \] \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) なので \[\begin{align} \beta & = \dfrac{\pi}{2} -\alpha \\ \text{∴} \quad \alpha +\beta & = \underline{\dfrac{\pi}{2}} \ . \end{align}\]
(2)
\(S = \tan \alpha \tan \beta +\tan \beta \tan \gamma +\tan \gamma \tan \alpha\) とおく.
条件より, \(\gamma = \dfrac{\pi}{2} -\left( \alpha +\beta \right)\) なので, 加法定理を用いて
\[
\tan \gamma = \dfrac{1 -\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha +\tan \beta} \ .
\]
これを用いれば
\[\begin{align}
S & = \tan \alpha \tan \beta +\left( \tan \alpha +\tan \beta \right) \dfrac{1 -\tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha +\tan \beta} \\
& = 1 \ .
\end{align}\]
よって, \(S\) は一定である.
(3)
\(T = \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma\) , \(U = \tan^2 \alpha +\tan^2 \beta +\tan^2 \gamma\) とおく.
(2) の結果を用いれば
\[\begin{align}
\left( \tan \alpha -\tan \beta \right)^2 & +\left( \tan \beta -\tan \gamma \right)^2 +\left( \tan \gamma -\tan \alpha \right)^2 \\
& = 2U -2S = 2U-2 \geqq 0 \\
\text{∴} \quad U & \geqq 1 \ .
\end{align}\]
さらに, これを用いれば
\[
T^2 = U +2S \geqq 3 \ .
\]
条件より, \(T \gt 0\) なので
\[
T \geqq \sqrt{3} \quad ... [1] \ .
\]
等号成立は, \(\tan \alpha = \tan \beta = \tan \gamma\) すなわち \(\alpha = \beta = \gamma = \dfrac{\pi}{6}\) のとき.
また, \(\alpha \rightarrow \dfrac{\pi}{2} -0\) , \(\beta \rightarrow +0\) , \(\gamma \rightarrow +0\) のとき
\[
S \rightarrow \infty \quad ... [2] \ .
\]
[1] [2] より, 求める値の範囲は
\[
\underline{S \geqq \sqrt{3}} \ .
\]