\(m , n\) を自然数として, 関数 \(f(x) = x^m (1-x)^n\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(0 \leqq x \leqq 1\) における \(f(x)\) の最大値を \(m , n\) を用いて表せ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 f(x) \, dx\) を \(m , n\) を用いて表せ.
(3) \(a , b , c\) を実数として, 関数 \(g(x) = ax^2+bx+c\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(M(a,b,c)\) とする. 次の \(2\) 条件 (i) , (ii) が成立するとき, \(M(a,b,c)\) の最小値を \(m , n\) を用いて表せ.
(i) \(g(0) = g(1) = 0\)
(ii) \(0 \lt x \lt 1\) のとき \(f(x) \leqq g(x)\)
(4) \(m , n\) が \(2\) 以上の自然数で \(m \gt n\) であるとき \[ \dfrac{(m+n+1)!}{m! n!} \gt \dfrac{(m+n)^{m+n}}{m^m n^n} \gt 2^{2n-1} \ . \] が成立することを示せ.
【 解 答 】
(1)
求める最大値を \(S(m,n)\) とおく. \[\begin{align} f'(x) & = mx^{m-1}(1-x)^{n} +x^{m} (-n)(1-x)^{n-1} \\ & = \left\{ m(1-x) -nx \right\} x^{m-1}(1-x)^{n-1} \\ & = \left\{ m-(m+n)x \right\} x^{m-1}(1-x)^{n-1} \ . \end{align}\] \(f'(x) = 0\) をとくと \[ x = \dfrac{m}{m+n} \ . \] したがって, \(0 \leqq x \leqq 1\) における \(f(x)\) の増減は下表のようになる. \[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{m}{m+n} & \cdots & 1 \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & \text{最大} & \searrow & 0 \\ \end{array} \] よって, 求める最大値は \[\begin{align} S(m,n) & = f \left( \dfrac{m}{m+n} \right) \\ & = \left( \dfrac{m}{m+n} \right)^{m} \left( \dfrac{n}{m+n} \right)^{n} \\ & = \underline{\dfrac{m^m n^n}{(m+n)^{m+n}}} \ . \end{align}\]
(2)
求める積分値を \(I(m,n)\) とおく.
部分積分を用いると
\[\begin{align}
I(m,n) & = \left[ \dfrac{x^{m+1}}{m+1} (1-x)^n \right] _ 0^1 +\dfrac{n}{m+1} \displaystyle\int _ 0^1 x^{m+1} (1-x)^{n-1} \, dx \\
& = \dfrac{n}{m+1} I( m+1 , n-1 ) \ .
\end{align}\]
これを繰返し用いれば
\[\begin{align}
I(m,n) & = \dfrac{n \cdots 1}{(m+1) \cdots (m+n)} I( m+n , 0 ) \\
& = \dfrac{m! n!}{(m+n)!} I( m+n , 0 ) \ .
\end{align}\]
ここで
\[\begin{align}
I( m+n , 0 ) & = \displaystyle\int _ 0^1 x^{m+n} \, dx \\
& = \left[ \dfrac{x^{m+n+1}}{m+n+1} \right] _ 0^1 = \dfrac{1}{m+n+1} \ .
\end{align}\]
なので, 求める積分値は
\[
I(m,n) = \underline{\dfrac{m! n!}{(m+n+1)!}} \ .
\]
(3)
条件 (i) より \[\begin{align} g(0) & = c = 0 \\ g(1) & = a+b+c = 0 \\ \text{∴} \quad b & = -a \ . \end{align}\] したがって \[\begin{align} g(x) & = ax^2-ax = -ax(1-x) \\ & = a \left( x-\dfrac{1}{2} \right)^2 -\dfrac{a}{4} \quad ... [1] \ . \end{align}\]
(1) で調べた \(f(x)\) の増減より, \(0 \lt x \lt 1\) において \(f(x) \gt 0\) だから, 条件 (ii) より, \(g(x) \gt 0\) である.
一方, \(g(x)\) は \(2\) 次関数だから, 上に凸であればよく
\[
a \lt 0 \ .
\]
したがって, [1] より
\[\begin{align}
M(a,b,c) & = -\dfrac{a}{4} \\
\text{∴} \quad a & = -4 M(a,b,c) \quad ... [2] \ .
\end{align}\]
さらに, 条件 (ii) より
\[\begin{align}
g(x) -f(x) & = x(1-x) \left\{ -a -x^{m-1} (1-x)^{n-1} \right\} \geqq 0 \\
\text{∴} \quad -a & \geqq x^{m-1} (1-x)^{n-1} \quad ( \ \text{∵} \ 0 \leqq x \leqq 1 ) \ .
\end{align}\]
これが \(0 \leqq x \leqq 1\) において常に成立するので, 右辺の最大値を \(A\) とおけば, \(-a \geqq A\) が成立すればよい.
1* \(n = 1\) または \(m=1\) のとき
\(A = 1\) となるので, [2] も用いて \[\begin{align} 4 M(a,b,c) & \geqq 1 \\ \text{∴} \quad M(a,b,c) & \geqq \dfrac{1}{4} \ . \end{align}\]2* \(m \geqq 2\) , \(n \geqq 2\) のとき
(1) の結果より, \(A = S( m-1 , n-1 )\) なので, [2] も用いて \[\begin{align} 4 M(a,b,c) & \geqq \dfrac{(m-1)^{m-1} (n-1)^{n-1}}{(m+n-2)^{m+n-2}} \\ \text{∴} \quad M(a,b,c) & \geqq \dfrac{(m-1)^{m-1} (n-1)^{n-1}}{4 (m+n-2)^{m+n-2}} \ . \end{align}\]
以上より, 求める最小値は \[ \underline{\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1}{4} & ( \ m=1 \ \text{または} \ n=1 \text{のとき} ) \\ \dfrac{(m-1)^{m-1} (n-1)^{n-1}}{4 (m+n-2)^{m+n-2}} & ( \ m \geqq 2 , \ n \geqq 2 \text{のとき} ) \end{array} \right.} \ . \]
(4)
示すべき不等式を変形すると \[ I(m,n) \lt S(m,n) \lt \dfrac{1}{2^{2n-1}} \quad ... [\text{A}] \ . \] なので, [A] を示せばよい.
\(( \text{左辺} ) \lt ( \text{中辺} ) \qquad\) の証明
\(0 \leqq x \leqq 1\) において \[ f(x) \leqq S(m,n) \ . \] この区間で積分すれば, 常には等号はしないので \[ I(m,n) \lt S(m,n) \ . \]\(( \text{中辺} ) \lt ( \text{右辺} ) \qquad\) の証明
(3) の結果より \[ f(x) \leqq S(m,n) \leqq \dfrac{1}{4} S(m-1,n-1) \leqq M(a,b,c) \ . \] したがって, これを繰返し用いれば \[\begin{align} S(m,n) & \leqq \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-1} S( m-n+1 ,1 ) \\ & = \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-1} \dfrac{(m-n+1)^{m-n+1}}{(m-n+2)^{m-n+2}} \\ & = \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-1} \dfrac{1}{m-n+2} \left( \dfrac{m-n+1}{m-n+2} \right)^{m-n+1} \\ & \lt \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n-1} \dfrac{1}{2} \cdot 1 \\ & = \dfrac{1}{2^{2n-1}} \ . \end{align}\]
以上より, [A] が示されたので, 題意も示された.